Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido com densidade , envolvido por (para ), e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a massa e o centro de gravidade de um sólido com densidade dada por . Esse sólido é limitado pelas superfícies (para ), , , e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir os limites de integração para , e . Observando o enunciado:
  • varia de a .
  • Para , como e , varia de a .
  • Para , ele vai de até .
Então, nossos limites são:

Passo 3

Vamos calcular a massa do sólido usando a integral tripla da densidade sobre o volume:
Primeiro, integramos em relação a :

Passo 4

Agora, integramos em relação a :
Vamos resolver a integral em :
Finalmente, integramos em :

Passo 5

Agora, vamos calcular as coordenadas do centro de gravidade . Como a densidade é simétrica em em relação a , .
Para :
Para :

Resposta

A massa do sólido é unidades de massa e o centro de gravidade está em .

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido determinado por todos os pontos tais que
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
b-)
Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido com densidade , envolvido por (para ), e .
Calcule o volume do sólido determinado por todos os pontos tais que