Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido com densidade
, envolvido por
(para
),
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a massa e o centro de gravidade de um sólido com densidade dada por
. Esse sólido é limitado pelas superfícies
(para
),
,
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas cartesianas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir os limites de integração para
,
e
. Observando o enunciado:
-
varia de a . - Para
, como e , varia de a . - Para
, ele vai de até .
Então, nossos limites são:
Passo 3
Vamos calcular a massa
do sólido usando a integral tripla da densidade sobre o volume:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 4
Agora, integramos em relação a
:
Vamos resolver a integral em
:
Finalmente, integramos em
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as coordenadas do centro de gravidade
. Como a densidade é simétrica em
em relação a
,
.
Para
:
Para
:
Resposta
A massa do sólido é
unidades de massa e o centro de gravidade está em
.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido determinado por todos os pontos
tais que
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
b-)
b-)
Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido com densidade
, envolvido por
(para
),
e
.
Calcule o volume do sólido
determinado por todos os pontos
tais que