Encontre o raio e o intervalo de convergência da série. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita do tipo e precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Isso está relacionado ao estudo de series de potências, onde a gente investiga para quais valores de a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o raio de convergência. Ele nos diz até onde a série converge quando a gente varia . Para encontrar , vamos usar o teste da razão, que é uma ferramenta da análise de séries para determinar a convergência.
Passo 3
O teste da razão diz que, para uma série , a série converge se:
Então, vamos identificar na nossa série. Aqui, .
Passo 4
Agora, calculamos a razão :
Como , a expressão simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Então, o limite é .
Passo 6
De acordo com o teste da razão, a série converge se esse limite for menor que 1:
Isso significa que o raio de convergência é 1.
Passo 7
O intervalo de convergência é o conjunto de valores de para os quais a série converge. Como , temos inicialmente:
Agora, precisamos verificar se a série converge nos pontos extremos e .
Passo 8
Para :
Essa é uma série alternada cuja série dos termos em módulo, , é convergente. Então, por teste da série alternada, a série converge.
Para :
Essa é a famosa série p com , que também converge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .