Encontre o raio e o intervalo de convergência da série. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita do tipo e precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Isso está relacionado ao estudo de series de potências, onde a gente investiga para quais valores de a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o raio de convergência. Ele nos diz até onde a série converge quando a gente varia . Para encontrar , vamos usar o teste da razão, que é uma ferramenta da análise de séries para determinar a convergência.
Passo 3
O teste da razão diz que, para uma série , a série converge se:
Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty | x | cdot n^2(n+1)^2 = | x | cdot limn to infty n^2n^2 + 2n + 1 = | x | cdot 11 + 0 + 0 = | x | tende ao infinito:
Então, o limite é .
Passo 6
De acordo com o teste da razão, a série converge se esse limite for menor que 1:
| x | < 1
Isso significa que o raio de convergência é 1.
Passo 7
O intervalo de convergência I = (-1, 1) é o conjunto de valores de para os quais a série converge. Como , temos inicialmente:
Agora, precisamos verificar se a série converge nos pontos extremos e .
Passo 8
Para sumn=1^+infty (-1)^n 1^nn^2 = sumn=1^+infty (-1)^nn^2 :