Encontre o raio R e o intervalo I de convergência da série.
sumn=1^+infty(-1)^n x^nn^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita do tipo e precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Isso está relacionado ao estudo de series de potências, onde a gente investiga para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o raio de convergência. Ele nos diz até onde a série converge quando a gente varia . Para encontrar , vamos usar o teste da razão, que é uma ferramenta da análise de séries para determinar a convergência.

Passo 3

O teste da razão diz que, para uma série limn to infty | an+1an | < 1 , a série converge se:
Então, vamos identificar na nossa série. Aqui, .

Passo 4

Agora, calculamos a razão | an+1an | = | (-1)^n+1 x^n+1(n+1)^2(-1)^n x^nn^2 | = | -1 cdot x^n+1x^n cdot n^2(n+1)^2 | = | x cdot n^2(n+1)^2 | :
| x | cdot n^2(n+1)^2
Como , a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty | x | cdot n^2(n+1)^2 = | x | cdot limn to infty n^2n^2 + 2n + 1 = | x | cdot 11 + 0 + 0 = | x | tende ao infinito:
Então, o limite é .

Passo 6

De acordo com o teste da razão, a série converge se esse limite for menor que 1:
| x | < 1
Isso significa que o raio de convergência é 1.

Passo 7

O intervalo de convergência I = (-1, 1) é o conjunto de valores de para os quais a série converge. Como , temos inicialmente:
Agora, precisamos verificar se a série converge nos pontos extremos e .

Passo 8

Para sumn=1^+infty (-1)^n 1^nn^2 = sumn=1^+infty (-1)^nn^2 :
sumn=1^+infty (-1)^n (-1)^nn^2 = sumn=1^+infty 1n^2
Essa é uma série alternada cuja série dos termos em módulo, , é convergente. Então, por teste da série alternada, a série converge.
Para :
Essa é a famosa série p com , que também converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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