Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região sob o gráfico da função
, no intervalo [1,2], em relação ao: (a) eixo x; (b) eixo y. Considere as dimensões em centímetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido formado pela rotação da região abaixo do gráfico da função
, no intervalo de
a
, em relação aos eixos
e
. A matéria envolvida aqui é o Cálculo, especificamente métodos de integração para encontrar volumes de sólidos de revolução. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de discos/cascas cilindricas e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume quando a região é rodada em torno do eixo
. Para isso, usamos o método dos discos. A fórmula geral para o volume
é:
Aqui,
, e os limites de integração são de
até
.
Passo 3
Vamos substituir
na fórmula:
Agora, precisamos integrar
em relação a
.
Passo 4
A integral de
é:
Como estamos calculando o volume, vamos calcular a integral definida:
Passo 5
Calculando os valores:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos calcular o volume quando a região é rodada em torno do eixo
. Para isso, usamos o método das cascas cilíndricas. A fórmula geral é:
Novamente,
, com
e
.
Passo 7
Substituindo na fórmula:
Vamos integrar
em relação a
.
Passo 8
A integral de
é:
Calculando a integral definida:
Passo 9
Calculando os valores:
Portanto:
Resposta
(a) O volume em relação ao eixo
é
centímetros cúbicos.
(b) O volume em relação ao eixo
é
centímetros cúbicos.
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