Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região sob o gráfico da função , no intervalo [1,2], em relação ao: (a) eixo x; (b) eixo y. Considere as dimensões em centímetros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido formado pela rotação da região abaixo do gráfico da função , no intervalo de a , em relação aos eixos e . A matéria envolvida aqui é o Cálculo, especificamente métodos de integração para encontrar volumes de sólidos de revolução. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de discos/cascas cilindricas e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume quando a região é rodada em torno do eixo . Para isso, usamos o método dos discos. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, , e os limites de integração são de até .

Passo 3

Vamos substituir na fórmula:
Agora, precisamos integrar em relação a .

Passo 4

A integral de é:
Como estamos calculando o volume, vamos calcular a integral definida:

Passo 5

Calculando os valores:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos calcular o volume quando a região é rodada em torno do eixo . Para isso, usamos o método das cascas cilíndricas. A fórmula geral é:
Novamente, , com e .

Passo 7

Substituindo na fórmula:
Vamos integrar em relação a .

Passo 8

A integral de é:
Calculando a integral definida:

Passo 9

Calculando os valores:
Portanto:

Resposta

(a) O volume em relação ao eixo é centímetros cúbicos.
(b) O volume em relação ao eixo é centímetros cúbicos.

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