Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região sob o gráfico da função f(x)=x^3, no intervalo [1,2], em relação ao: (a) eixo x; (b) eixo y. Considere as dimensões em centímetros.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido formado pela rotação da região abaixo do gráfico da função , no intervalo de a , em relação aos eixos e . A matéria envolvida aqui é o Cálculo, especificamente métodos de integração para encontrar volumes de sólidos de revolução. Para resolver isso, vamos usar as fórmulas de discos/cascas cilindricas e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume quando a região é rodada em torno do eixo V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx . Para isso, usamos o método dos discos. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, , e os limites de integração são de até .

Passo 3

Vamos substituir V = pi integral1^2 (x^3)^2 , dx = pi integral1^2 x^6 , dx na fórmula:
Agora, precisamos integrar em relação a .

Passo 4

A integral de integral x^6 , dx = x^77 + C é:
V = pi [ x^77 ]1^2 = pi ( 2^77 - 1^77 )
Como estamos calculando o volume, vamos calcular a integral definida:

Passo 5

Calculando os valores:
2^7 = 128 e 1^7 = 1
Portanto:
V = pi ( 1287 - 17 ) = pi ( 1277 ) = 127pi7

Passo 6

Agora, vamos calcular o volume quando a região é rodada em torno do eixo V = 2pi integrala^b x cdot f(x) , dx . Para isso, usamos o método das cascas cilíndricas. A fórmula geral é:
Novamente, , com e .

Passo 7

Substituindo na fórmula:
V = 2pi integral1^2 x cdot x^3 , dx = 2pi integral1^2 x^4 , dx
Vamos integrar em relação a .

Passo 8

A integral de integral x^4 , dx = x^55 + C é:
V = 2pi [ x^55 ]1^2 = 2pi ( 2^55 - 1^55 )
Calculando a integral definida:

Passo 9

Calculando os valores:
2^5 = 32 e 1^5 = 1
Portanto:
V = 2pi ( 325 - 15 ) = 2pi ( 315 ) = 62pi5

Resposta

(a) O volume em relação ao eixo é centímetros cúbicos.
(b) O volume em relação ao eixo é centímetros cúbicos.

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