Calcule o volume do sólido limitado lateralmente pelo cilindro
, inferiormente pelo plano
e superiormente pela superfície esférica
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Queremos calcular o volume de um sólido que é limitado lateralmente pelo cilindro
, na parte de baixo pelo plano
e na parte de cima por uma esfera com a equação
. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas e integrar para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações envolvidas. O cilindro
tem raio 1 e se estende ao longo do eixo
. A esfera
tem centro na origem e raio 3. O plano
é simplesmente o plano do chão. Queremos encontrar o volume da região onde esses três limites se encontram.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. Nessas coordenadas, o cilindro se simplifica para
e a esfera fica
, o que nos dá
.
Passo 4
O volume pode ser calculado integrando sobre a área do cilindro e a altura determinada pela esfera. A integral em coordenadas cilíndricas fica:
Resolvendo essa integral:
Fazendo a substituição
,
:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Use integrais duplas em coordenadas polares para calcular o volume de uma esfera de raio
.
Use integração dupla para calcular o volume do sólido situado no primeiro octante, limitado pelos planos
e
, e pelas superfícies cilíndricas
e
.
Considere o sólido
limitado por baixo pelo plano ;
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro .
Calcule o volume do sólido
limitado por baixo pelo plano
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro
Calcule o volume do sólido
Considere a cardioide de equação
e o círculo
centrado no ponto
e com raio
, esboçados na figura abaixo.
Obtenha a equação em coordenadas polares do círculo e as coordenadas polares dos pontos
e
indicados na figura.
Obtenha a equação em coordenadas polares do círculo