Calcule o volume do sólido limitado lateralmente pelo cilindro x^2 + y^2 = 1, inferiormente pelo plano z = 0 e superiormente pela superfície esférica x^2 + y^2 + z^2 = 9.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Queremos calcular o volume de um sólido que é limitado lateralmente pelo cilindro , na parte de baixo pelo plano e na parte de cima por uma esfera com a equação . Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas e integrar para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações envolvidas. O cilindro tem raio 1 e se estende ao longo do eixo . A esfera tem centro na origem e raio 3. O plano é simplesmente o plano do chão. Queremos encontrar o volume da região onde esses três limites se encontram.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde , e . Nessas coordenadas, o cilindro se simplifica para e a esfera fica , o que nos dá .

Passo 4

O volume pode ser calculado integrando sobre a área do cilindro e a altura determinada pela esfera. A integral em coordenadas cilíndricas fica:
Resolvendo essa integral:
Fazendo a substituição , :
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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