Calcule o volume do sólido limitado lateralmente pelo cilindro , inferiormente pelo plano e superiormente pela superfície esférica .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Queremos calcular o volume de um sólido que é limitado lateralmente pelo cilindro , na parte de baixo pelo plano e na parte de cima por uma esfera com a equação . Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas cilíndricas e integrar para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações envolvidas. O cilindro tem raio 1 e se estende ao longo do eixo . A esfera tem centro na origem e raio 3. O plano é simplesmente o plano do chão. Queremos encontrar o volume da região onde esses três limites se encontram.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde , e . Nessas coordenadas, o cilindro se simplifica para e a esfera fica , o que nos dá .

Passo 4

O volume pode ser calculado integrando sobre a área do cilindro e a altura determinada pela esfera. A integral em coordenadas cilíndricas fica:
Resolvendo essa integral:
Fazendo a substituição , :
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Use integrais duplas em coordenadas polares para calcular o volume de uma esfera de raio .
Use integração dupla para calcular o volume do sólido situado no primeiro octante, limitado pelos planos e , e pelas superfícies cilíndricas e .
Considere o sólido
limitado por baixo pelo plano ;
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro .
Calcule o volume do sólido
Considere a cardioide de equação e o círculo centrado no ponto e com raio , esboçados na figura abaixo.
Obtenha a equação em coordenadas polares do círculo e as coordenadas polares dos pontos e indicados na figura.