Use integrais duplas em coordenadas polares para calcular o volume de uma esfera de raio
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de uma esfera de raio
usando integrais duplas em coordenadas polares. Isso envolve calcular uma integral que represente o volume da esfera. Para isso, vamos precisar entender como configurar essa integral em coordenadas polares e aplicar o conceito de volume usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma esfera de raio
é definida pela equação:
Para encontrar o volume, precisamos integrar a função que descreve a altura da esfera em relação ao plano
. Solvendo para
, temos:
Esse
nos dá a metade superior da esfera. Como a esfera é simétrica em relação ao plano
, o volume total será o dobro da integral dessa função.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares, onde:
E o elemento de área em coordenadas polares é:
Substituindo
e
na equação de
, temos:
Então, a integral para a metade do volume da esfera fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição:
Substituindo na integral:
Integrando:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Esse é o volume da metade da esfera. Como a esfera completa tem duas metades, multiplicamos por 2:
Resposta
O volume da esfera de raio
é:
Exercícios relacionados
Use integração dupla para calcular o volume do sólido situado no primeiro octante, limitado pelos planos
e
, e pelas superfícies cilíndricas
e
.
O valor médio de uma função
em uma região
é definido como
onde
é a área da região
.
Calcule o valor médio
da função
no retângulo .
Calcule o valor médio
da função
no retângulo
Calcule o volume do sólido limitado lateralmente pelo cilindro
, inferiormente pelo plano
e superiormente pela superfície esférica
.
Considere o sólido
limitado por baixo pelo plano ;
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro .
Calcule o volume do sólido
limitado por baixo pelo plano
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro
Calcule o volume do sólido