Use integrais duplas em coordenadas polares para calcular o volume de uma esfera de raio .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de uma esfera de raio usando integrais duplas em coordenadas polares. Isso envolve calcular uma integral que represente o volume da esfera. Para isso, vamos precisar entender como configurar essa integral em coordenadas polares e aplicar o conceito de volume usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma esfera de raio é definida pela equação:
Para encontrar o volume, precisamos integrar a função que descreve a altura da esfera em relação ao plano . Solvendo para , temos:
Esse nos dá a metade superior da esfera. Como a esfera é simétrica em relação ao plano , o volume total será o dobro da integral dessa função.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares, onde:
E o elemento de área em coordenadas polares é:
Substituindo e na equação de , temos:
Então, a integral para a metade do volume da esfera fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição:
Substituindo na integral:
Integrando:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a :
Esse é o volume da metade da esfera. Como a esfera completa tem duas metades, multiplicamos por 2:

Resposta

O volume da esfera de raio é:

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O valor médio de uma função em uma região é definido como
onde é a área da região .
Calcule o valor médio
da função
no retângulo .
Calcule o volume do sólido limitado lateralmente pelo cilindro , inferiormente pelo plano e superiormente pela superfície esférica .
Considere o sólido
limitado por baixo pelo plano ;
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro .
Calcule o volume do sólido