Considere a cardioide de equação e o círculo centrado no ponto e com raio , esboçados na figura abaixo.
Obtenha a equação em coordenadas polares do círculo e as coordenadas polares dos pontos e indicados na figura.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma cardioide com a equação e um círculo com centro em e raio . Nosso objetivo é:
  1. Encontrar a equação do círculo em coordenadas polares.
  2. Determinar as coordenadas polares dos pontos e que estão na figura.
Pra isso, vamos precisar entender como converter a equação de um círculo para coordenadas polares e resolver as equações para achar onde a cardioide e o círculo se encontram.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação do círculo em coordenadas polares. Sabemos que o círculo está centrado em com raio .
Em coordenadas polares, um círculo centrado no ponto com raio tem a equação:
Aqui, , então substituindo na fórmula:
Portanto, a equação do círculo em coordenadas polares é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as coordenadas polares dos pontos e onde a cardioide e o círculo se intersectam.
Temos as equações:
í
Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
As soluções para no intervalo de a onde são:
Agora, substituímos esses valores na equação da cardioide para encontrar o raio :
Portanto, as coordenadas polares dos pontos e são:

Resposta

A equação do círculo em coordenadas polares é . As coordenadas polares dos pontos e são e .

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limitado por baixo pelo plano ;
limitado por cima pelo cone
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Calcule o volume do sólido limitado lateralmente pelo cilindro , inferiormente pelo plano e superiormente pela superfície esférica .
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Considere a integral dupla iterada . Escreva como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.