Considere a cardioide de equação
e o círculo
centrado no ponto
e com raio
, esboçados na figura abaixo.
Obtenha a equação em coordenadas polares do círculo
e as coordenadas polares dos pontos
e
indicados na figura.
Obtenha a equação em coordenadas polares do círculo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma cardioide com a equação
e um círculo
com centro em
e raio
. Nosso objetivo é:
- Encontrar a equação do círculo
em coordenadas polares. - Determinar as coordenadas polares dos pontos
e que estão na figura.
Pra isso, vamos precisar entender como converter a equação de um círculo para coordenadas polares e resolver as equações para achar onde a cardioide e o círculo se encontram.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação do círculo
em coordenadas polares. Sabemos que o círculo está centrado em
com raio
.
Em coordenadas polares, um círculo centrado no ponto
com raio
tem a equação:
Aqui,
, então substituindo na fórmula:
Portanto, a equação do círculo
em coordenadas polares é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas polares dos pontos
e
onde a cardioide e o círculo se intersectam.
Temos as equações:
Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Subtraindo
de ambos os lados:
As soluções para
no intervalo de
a
onde
são:
Agora, substituímos esses valores na equação da cardioide para encontrar o raio
:
Portanto, as coordenadas polares dos pontos
e
são:
Resposta
A equação do círculo
em coordenadas polares é
. As coordenadas polares dos pontos
e
são
e
.
Exercícios relacionados
Considere o sólido
limitado por baixo pelo plano ;
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro .
Calcule o volume do sólido
limitado por baixo pelo plano
limitado por cima pelo cone
e limitado lateralmente pelo cilindro
Calcule o volume do sólido
Calcule o volume do sólido limitado lateralmente pelo cilindro
, inferiormente pelo plano
e superiormente pela superfície esférica
.
Considere o círculo centrado na origem de raio 2 e o círculo de centro no ponto
tangente ao eixo
, esboçados abaixo, bem como a região
indicada na figura a seguir. Calcule a integral dupla
usando coordenadas polares.
Considere a integral dupla iterada
. Escreva
como integral dupla em coordenadas polares e calcule seu valor.