Use integração dupla para calcular o volume do sólido situado no primeiro octante, limitado pelos planos x=0, y=0 e z = 0, e pelas superfícies cilíndricas x^2 + y^2 = 4 e x^2 + z^2 = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (onde todas as coordenadas são positivas) e que é limitado pelos planos , , e pelas superfícies cilíndricas e . Vamos usar integração dupla para achar esse volume. Precisamos entender os limites de integração e como as superfícies delimitam o sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as superfícies. As equações e representam cilindros com raio 2, um ao redor do eixo e outro ao redor do eixo . No primeiro octante, esses cilindros se intersectam nos limites positivos de , e .

Passo 3

Como queremos usar integração dupla, precisamos escolher uma ordem de integração. Vamos integrar primeiro em e depois em , ou vice-versa. Mas para simplificar, vamos projetar a área no plano .

Passo 4

No plano , a equação é um círculo com raio 2. Como estamos no primeiro octante, varia de 0 a 2 e, para cada , varia de 0 a .

Passo 5

Agora, precisamos expressar em função de . A equação nos dá . Como estamos no primeiro octante, varia de 0 a .

Passo 6

Para encontrar o volume, configuramos a integral dupla onde a função de altura é . Assim, o volume é dado por:

Passo 7

Primeiro, vamos integrar em relação a :

Passo 8

Agora, integramos o resultado em relação a :

Passo 9

Vamos calcular essa integral:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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