Use integração dupla para calcular o volume do sólido situado no primeiro octante, limitado pelos planos e , e pelas superfícies cilíndricas e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (onde todas as coordenadas são positivas) e que é limitado pelos planos , , e pelas superfícies cilíndricas e . Vamos usar integração dupla para achar esse volume. Precisamos entender os limites de integração e como as superfícies delimitam o sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as superfícies. As equações e representam cilindros com raio 2, um ao redor do eixo e outro ao redor do eixo . No primeiro octante, esses cilindros se intersectam nos limites positivos de , e .
Passo 3
Como queremos usar integração dupla, precisamos escolher uma ordem de integração. Vamos integrar primeiro em e depois em , ou vice-versa. Mas para simplificar, vamos projetar a área no plano .
Passo 4
No plano , a equação é um círculo com raio 2. Como estamos no primeiro octante, varia de 0 a 2 e, para cada , varia de 0 a .
Passo 5
Agora, precisamos expressar em função de . A equação nos dá . Como estamos no primeiro octante, varia de 0 a .
Passo 6
Para encontrar o volume, configuramos a integral dupla onde a função de altura é . Assim, o volume é dado por: