Calcule o volume do sólido obtido ao girarmos em torno de a região entre:
  • a reta
  • o segmento entre os pontos e .
  • A reta tangente à curva no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que surge quando giramos em torno da reta a região limitada por três curvas: a reta , o segmento entre os pontos e , e a reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar o método dos discos/lavadoras, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações que delimitam a região. Já temos . Agora, vamos encontrar a equação do segmento que passa por e . A inclinação dessa reta é:
Então, a equação é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Primeiro, calculamos a derivada para achar a inclinação da tangente:
No ponto :
A coordenada no ponto é:
Então, a equação da tangente é:

Passo 4

Agora que temos todas as equações:
Vamos determinar os pontos de interseção para saber quais são os limites de integração. Igualando e :
Assim, eles se encontram em . Verificando com a terceira reta:
Igualando e :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Vamos agora visualizar a região que será girada. Entre e , a parte superior é dada por e a inferior por . Além disso, temos a reta que também faz parte dos limites.
Para calcular o volume, usaremos o método das lavadoras, onde a área de cada fatia é a diferença entre duas áreas de círculo.

Passo 6

A fórmula geral para o volume pelo método das lavadoras é:
onde é a distância da curva externa à reta de rotação ( ) e é a distância da curva interna à mesma reta.

Passo 7

Vamos determinar e :
Para a parte superior :
Para a parte inferior :

Passo 8

Agora, substituímos na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então:

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
Então, o volume fica:

Passo 10

Agora, avaliamos nos limites de integração:
Para :
Para :
Então:
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial .
Considere a região R entre e .
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região em torno de:
c) reta .
Calcule.
Calcule a integral fazendo a substituição dada.
$(a)