Calcule o volume do sólido obtido ao girarmos em torno de a região entre:
a reta
o segmento entre os pontos e .
A reta tangente à curva no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que surge quando giramos em torno da reta a região limitada por três curvas: a reta , o segmento entre os pontos e , e a reta tangente à curva no ponto . Para isso, vamos usar o método dos discos/lavadoras, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações que delimitam a região. Já temos . Agora, vamos encontrar a equação do segmento que passa por e . A inclinação dessa reta é:
Então, a equação é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Primeiro, calculamos a derivada para achar a inclinação da tangente:
No ponto :
A coordenada no ponto é:
Então, a equação da tangente é:
Passo 4
Agora que temos todas as equações:
Vamos determinar os pontos de interseção para saber quais são os limites de integração. Igualando e :
Assim, eles se encontram em . Verificando com a terceira reta:
Igualando e :
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 5
Vamos agora visualizar a região que será girada. Entre e , a parte superior é dada por e a inferior por . Além disso, temos a reta que também faz parte dos limites.
Para calcular o volume, usaremos o método das lavadoras, onde a área de cada fatia é a diferença entre duas áreas de círculo.
Passo 6
A fórmula geral para o volume pelo método das lavadoras é:
onde é a distância da curva externa à reta de rotação () e é a distância da curva interna à mesma reta.
Passo 7
Vamos determinar e :
Para a parte superior :
Para a parte inferior :
Passo 8
Agora, substituímos na fórmula do volume:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Passo 9
Vamos integrar termo a termo:
Então, o volume fica:
Passo 10
Agora, avaliamos nos limites de integração:
Para :
Para :
Então:
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto: