Considere a região R entre
e
.
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região
em torno de:
c) reta
.
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região
c) reta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume gerado ao girar a região
delimitada pelas retas
,
e
em torno da reta
. Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender melhor a região
. Para isso, vamos encontrar os pontos de interseção das três retas que delimitam
. Vamos resolver os sistemas de equações dois a dois.
-
Interseção de
e : Ponto de interseção: -
Interseção de
e : Ponto de interseção: -
Interseção de
e : Ponto de interseção:
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar a região
. Ela está limitada entre
e
. Vamos identificar qual reta está por cima e qual está por baixo em cada intervalo para aplicar corretamente o método dos anéis.
Passo 4
Vamos usar o método dos anéis (ou método dos discos). Quando giramos a região em torno de uma reta horizontal
, a fórmula do volume
é dada por:
onde:
-
é a função que representa a borda externa, -
é a função que representa a borda interna, -
é a reta em torno da qual estamos girando, -
e são os limites de integração (neste caso, a ).
Passo 5
Identificamos as funções:
-
-
-
(rearranjando )
Vamos determinar qual função é a superior e qual é a inferior no intervalo
:
- Entre
e , está abaixo de . - Entre
e , está abaixo de .
Então, para
de
a
:
E para
de
a
:
Passo 6
Vamos calcular o volume em duas partes e somá-las:
- De
a :
Substituindo as funções:
- De
a :
Substituindo as funções:
Agora, vamos calcular ambas as integrais.
Passo 7
Após resolver as integrais
e
e somá-las, obtemos o volume total
do sólido de revolução.
Resposta Final:
O volume do sólido de revolução obtido ao girar a região
em torno da reta
é
.