Considere a região R entre x + 3y = 5, y = -4x - 2 e y = 3x/2 - 2.
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região R em torno de:
c) reta y = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume gerado ao girar a região delimitada pelas retas , e em torno da reta . Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender melhor a região . Para isso, vamos encontrar os pontos de interseção das três retas que delimitam . Vamos resolver os sistemas de equações dois a dois.
  1. Interseção de e :
    Ponto de interseção:
  2. Interseção de e :
    Ponto de interseção:
  3. Interseção de e :
    Ponto de interseção:

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar a região . Ela está limitada entre e . Vamos identificar qual reta está por cima e qual está por baixo em cada intervalo para aplicar corretamente o método dos anéis.

Passo 4

Vamos usar o método dos anéis (ou método dos discos). Quando giramos a região em torno de uma reta horizontal , a fórmula do volume é dada por:
onde:
  • é a função que representa a borda externa,
  • é a função que representa a borda interna,
  • é a reta em torno da qual estamos girando,
  • e são os limites de integração (neste caso, a ).

Passo 5

Identificamos as funções:
  • (rearranjando )
Vamos determinar qual função é a superior e qual é a inferior no intervalo :
  • Entre e , está abaixo de .
  • Entre e , está abaixo de .
Então, para de a :
E para de a :

Passo 6

Vamos calcular o volume em duas partes e somá-las:
  1. De a :
Substituindo as funções:
  1. De a :
Substituindo as funções:
Agora, vamos calcular ambas as integrais.

Passo 7

Após resolver as integrais e e somá-las, obtemos o volume total do sólido de revolução.
Resposta Final:
O volume do sólido de revolução obtido ao girar a região em torno da reta é .

Exercícios relacionados