Considere a região R entre e .
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região em torno de:
c) reta .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume gerado ao girar a região delimitada pelas retas , e em torno da reta . Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender melhor a região . Para isso, vamos encontrar os pontos de interseção das três retas que delimitam . Vamos resolver os sistemas de equações dois a dois.
1. **Interseção de e :**
Ponto de interseção:
2. **Interseção de e :**
Ponto de interseção:
3. **Interseção de e :**
Ponto de interseção:
Passo 3
Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar a região . Ela está limitada entre e . Vamos identificar qual reta está por cima e qual está por baixo em cada intervalo para aplicar corretamente o método dos anéis.
Passo 4
Vamos usar o **método dos anéis** (ou método dos discos). Quando giramos a região em torno de uma reta horizontal , a fórmula do volume é dada por:
onde:
- é a função que representa a borda externa,
- é a função que representa a borda interna,
- é a reta em torno da qual estamos girando,
- e são os limites de integração (neste caso, a ).
Passo 5
Identificamos as funções:
-
-
- (rearranjando )
Vamos determinar qual função é a superior e qual é a inferior no intervalo :
- Entre e , está abaixo de .
- Entre e , está abaixo de .
Então, para de a :
E para de a :
Passo 6
Vamos calcular o volume em duas partes e somá-las:
1. **De a :**
Substituindo as funções:
2. **De a :**
Substituindo as funções:
Agora, vamos calcular ambas as integrais.
Passo 7
Após resolver as integrais e e somá-las, obtemos o volume total do sólido de revolução.
**Resposta Final:**
O volume do sólido de revolução obtido ao girar a região em torno da reta é .
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a região R entre e .
Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região em torno de:
b) reta .
Considere a equação diferencial abaixo:
b) Resolva esta equação diferencial.
Resolva a equação diferencial .
Calcule o volume do sólido obtido ao girarmos em torno de a região entre:
- a reta
- o segmento entre os pontos e .
- A reta tangente à curva no ponto .