Considere a região R entre e . Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região em torno de: c) reta .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume gerado ao girar a região delimitada pelas retas , e em torno da reta . Para resolver isso, vamos precisar usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos ou anéis, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender melhor a região . Para isso, vamos encontrar os pontos de interseção das três retas que delimitam . Vamos resolver os sistemas de equações dois a dois. 1. **Interseção de e :** Ponto de interseção: 2. **Interseção de e :** Ponto de interseção: 3. **Interseção de e :** Ponto de interseção:

Passo 3

Agora que temos os pontos de interseção, podemos visualizar a região . Ela está limitada entre e . Vamos identificar qual reta está por cima e qual está por baixo em cada intervalo para aplicar corretamente o método dos anéis.

Passo 4

Vamos usar o **método dos anéis** (ou método dos discos). Quando giramos a região em torno de uma reta horizontal , a fórmula do volume é dada por: onde: - é a função que representa a borda externa, - é a função que representa a borda interna, - é a reta em torno da qual estamos girando, - e são os limites de integração (neste caso, a ).

Passo 5

Identificamos as funções: - - - (rearranjando ) Vamos determinar qual função é a superior e qual é a inferior no intervalo : - Entre e , está abaixo de . - Entre e , está abaixo de . Então, para de a : E para de a :

Passo 6

Vamos calcular o volume em duas partes e somá-las: 1. **De a :** Substituindo as funções: 2. **De a :** Substituindo as funções: Agora, vamos calcular ambas as integrais.

Passo 7

Após resolver as integrais e e somá-las, obtemos o volume total do sólido de revolução. **Resposta Final:** O volume do sólido de revolução obtido ao girar a região em torno da reta é .

Resposta

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Considere a região R entre e . Calcule o volume do sólido de revolução obtido ao girarmos a região em torno de: b) reta .
Considere a equação diferencial abaixo: b) Resolva esta equação diferencial.
Resolva a equação diferencial .
Calcule o volume do sólido obtido ao girarmos em torno de a região entre: - a reta - o segmento entre os pontos e . - A reta tangente à curva no ponto .