Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da elipse em torno do:
(11.1) Eixo maior

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido que obtemos quando giramos a região limitada pela elipse em torno do eixo maior. Primeiro, vamos entender que uma elipse tem dois eixos: o maior e o menor. Aqui, o eixo maior é o eixo porque o coeficiente de é menor, tornando a elipse mais alongada nessa direção. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que é ideal para sólidos de rotação.

Passo 2

Vamos reescrever a equação da elipse para facilitar o trabalho. Dividindo ambos os lados por 9, temos:
Isso mostra que a semi-major axis (semi-eixo maior) é 3 e a semi-minor axis (semi-eixo menor) é 1.

Passo 3

Como vamos girar em torno do eixo , precisamos expressar em termos de para usar o método dos discos. A partir da equação da elipse:
Então,

Passo 4

O volume do sólido de rotação pode ser encontrado integrando a área de cada disco ao longo do eixo . A fórmula do volume usando o método dos discos é:
Aqui, e são os limites de da elipse.

Passo 5

Substituindo na fórmula, temos:
Como a função é par, podemos simplificar e calcular de 0 a 3, depois multiplicar por 2:

Passo 6

Vamos calcular a integral:

Passo 7

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são semi-elipses, todas situadas em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm o eixo menor como cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro e a medida do eixo maior igual ao dobro da medida do eixo menor. (Considere a área da elipse de semi-eixos maior e menor e , respectivamente, igual a .
Calcule , onde ; R é região
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.1) e o eixo , ao redor do eixo
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.5) e , ao redor da reta