Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da elipse
em torno do:
(11.1) Eixo maior
(11.1) Eixo maior
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume do sólido que obtemos quando giramos a região limitada pela elipse
em torno do eixo maior. Primeiro, vamos entender que uma elipse tem dois eixos: o maior e o menor. Aqui, o eixo maior é o eixo
porque o coeficiente de
é menor, tornando a elipse mais alongada nessa direção. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente o método dos discos, que é ideal para sólidos de rotação.
Passo 2
Vamos reescrever a equação da elipse para facilitar o trabalho. Dividindo ambos os lados por 9, temos:
Isso mostra que a semi-major axis (semi-eixo maior) é 3 e a semi-minor axis (semi-eixo menor) é 1.
Passo 3
Como vamos girar em torno do eixo
, precisamos expressar
em termos de
para usar o método dos discos. A partir da equação da elipse:
Então,
Passo 4
O volume
do sólido de rotação pode ser encontrado integrando a área de cada disco ao longo do eixo
. A fórmula do volume usando o método dos discos é:
Aqui,
e
são os limites de
da elipse.
Passo 5
Substituindo
na fórmula, temos:
Como a função é par, podemos simplificar e calcular de 0 a 3, depois multiplicar por 2:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Passo 7
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio
e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são semi-elipses, todas situadas em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm o eixo menor como cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro e a medida do eixo maior igual ao dobro da medida do eixo menor. (Considere a área da elipse de semi-eixos maior e menor
e
, respectivamente, igual a
.
Calcule
, onde
; R é região
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.1) e o eixo
, ao redor do eixo
(12.1)
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.5) e
, ao redor da reta
(12.5)