Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.1)
e o eixo
, ao redor do eixo
(12.1)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para determinar o volume do sólido que resulta ao girar a região delimitada pelas curvas
,
e o eixo
em torno do próprio eixo
. Vamos usar os conceitos de Cálculo, especificamente o método dos discos para volumes de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa girar uma região em torno do eixo
. Imagine que a região entre
,
e o eixo
é girada 360 graus ao redor do eixo
. Isso forma um sólido de revolução.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos. Esse método envolve integrar a área de pequenos discos (círculos) que formam o sólido. A fórmula geral para o volume
usando esse método é:
onde
é a função que descreve a borda da região, e
é o intervalo de
que estamos considerando.
Passo 4
No nosso caso, a função
é
e o intervalo vai de
até
. Então, substituindo na fórmula, temos:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral
. A antiderivada de
é
(desde que
). Aplicando isso:
Passo 7
Aplicando os limites de integração de 0 a 8:
Como
, simplificamos para:
Passo 8
Calculando
:
Então:
Resposta
O volume do sólido é igual a
unidades de volume.
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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da elipse
em torno do:
(11.1) Eixo maior
(11.1) Eixo maior
Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio
e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são semi-elipses, todas situadas em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm o eixo menor como cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro e a medida do eixo maior igual ao dobro da medida do eixo menor. (Considere a área da elipse de semi-eixos maior e menor
e
, respectivamente, igual a
.
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.5) e
, ao redor da reta
(12.5)
Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada:
(14.2) Área delimitada pela curva e o eixo
(14.2) Área delimitada pela curva