Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.1) e o eixo , ao redor do eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para determinar o volume do sólido que resulta ao girar a região delimitada pelas curvas , e o eixo em torno do próprio eixo . Vamos usar os conceitos de Cálculo, especificamente o método dos discos para volumes de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar uma região em torno do eixo . Imagine que a região entre , e o eixo é girada 360 graus ao redor do eixo . Isso forma um sólido de revolução.

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos. Esse método envolve integrar a área de pequenos discos (círculos) que formam o sólido. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde é a função que descreve a borda da região, e é o intervalo de que estamos considerando.

Passo 4

No nosso caso, a função é e o intervalo vai de até . Então, substituindo na fórmula, temos:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral . A antiderivada de é (desde que ). Aplicando isso:

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 8:
Como , simplificamos para:

Passo 8

Calculando :
Então:

Resposta

O volume do sólido é igual a unidades de volume.

Exercícios relacionados

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da elipse em torno do:
(11.1) Eixo maior
Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são semi-elipses, todas situadas em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm o eixo menor como cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro e a medida do eixo maior igual ao dobro da medida do eixo menor. (Considere a área da elipse de semi-eixos maior e menor e , respectivamente, igual a .
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.5) e , ao redor da reta
Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada:
(14.2) Área delimitada pela curva e o eixo