Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.1) y = raiz(cubica(x)), x = 8 e o eixo x, ao redor do eixo x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pede para determinar o volume do sólido que resulta ao girar a região delimitada pelas curvas , e o eixo em torno do próprio eixo . Vamos usar os conceitos de Cálculo, especificamente o método dos discos para volumes de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar uma região em torno do eixo . Imagine que a região entre , e o eixo é girada 360 graus ao redor do eixo . Isso forma um sólido de revolução.

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos. Esse método envolve integrar a área de pequenos discos (círculos) que formam o sólido. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde é a função que descreve a borda da região, e é o intervalo de que estamos considerando.

Passo 4

No nosso caso, a função é e o intervalo vai de até . Então, substituindo na fórmula, temos:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral . A antiderivada de é (desde que ). Aplicando isso:

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 8:
Como , simplificamos para:

Passo 8

Calculando :
Então:

Resposta

O volume do sólido é igual a unidades de volume.

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