Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.5) e , ao redor da reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região limitada pelas curvas e em torno da reta . Para isso, vamos usar o método dos discos (também conhecido como método dos anéis), que é um jeito bacana de calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região. Temos:
  1. : Essa é uma reta que passa pela origem, formando um ângulo de 45 graus com o eixo x.
  2. : Essa é uma parábola que se abre para a direita, com vértice em .
Vamos achar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar onde as curvas se interceptam, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Portanto, as curvas se encontram em e .

Passo 4

Agora, vamos visualizar a região que vamos girar em torno da reta . Entre e , a reta está à direita da parábola . Isso significa que, para cada valor de nesse intervalo, e .

Passo 5

Para calcular o volume usando o método dos discos, a fórmula é:
Onde:
  • é o raio externo (distância da reta de rotação até a curva externa),
  • é o raio interno (distância da reta de rotação até a curva interna),
  • e são os limites de integração (nossos e ).

Passo 6

Vamos determinar e :
  • : A distância da reta até a curva externa é .
  • : A distância da reta até a curva interna também é .
No caso, como as duas curvas estão a mesma distância da reta de rotação , precisamos ajustar nosso raciocínio. Na verdade, precisamos considerar a posição x das curvas para identificar o raio.
Como estamos rotacionando em torno de uma reta horizontal, faz mais sentido usar o método dos cascos cilíndricos (shells).

Passo 7

Usando o método dos cascos cilíndricos, a fórmula para o volume é:
Onde:
  • é a distância vertical da reta de rotação até um ponto genérico da região,
  • e são as funções que descrevem as fronteiras direita e esquerda da região, respectivamente,
  • e são os limites de integração.

Passo 8

Aplicando os valores do nosso problema:
  • (já que a reta de rotação é ),
  • ,
  • ,
  • ,
  • .
Então, a integral fica:

Passo 9

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 10

Vamos multiplicar os termos:
Agora, a integral é:

Passo 11

Vamos integrar termo a termo:

Passo 12

Agora, avaliamos a integral definida de 1 a 4:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Então:

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

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Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.1) e o eixo , ao redor do eixo
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da elipse em torno do:
(11.1) Eixo maior
Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada:
(14.2) Área delimitada pela curva e o eixo
Transforme as seguintes integrais para coordenadas polares e calcule-as