Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.5)
e
, ao redor da reta
(12.5)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta da rotação da região limitada pelas curvas
e
em torno da reta
. Para isso, vamos usar o método dos discos (também conhecido como método dos anéis), que é um jeito bacana de calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região. Temos:
-
: Essa é uma reta que passa pela origem, formando um ângulo de 45 graus com o eixo x. -
: Essa é uma parábola que se abre para a direita, com vértice em .
Vamos achar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de integração.
Passo 3
Para encontrar onde as curvas se interceptam, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Portanto, as curvas se encontram em
e
.
Passo 4
Agora, vamos visualizar a região que vamos girar em torno da reta
. Entre
e
, a reta
está à direita da parábola
. Isso significa que, para cada valor de
nesse intervalo,
e
.
Passo 5
Para calcular o volume usando o método dos discos, a fórmula é:
Onde:
-
é o raio externo (distância da reta de rotação até a curva externa), -
é o raio interno (distância da reta de rotação até a curva interna), -
e são os limites de integração (nossos e ).
Passo 6
Vamos determinar
e
:
-
: A distância da reta até a curva externa é . -
: A distância da reta até a curva interna também é .
No caso, como as duas curvas estão a mesma distância da reta de rotação
, precisamos ajustar nosso raciocínio. Na verdade, precisamos considerar a posição x das curvas para identificar o raio.
Como estamos rotacionando em torno de uma reta horizontal, faz mais sentido usar o método dos cascos cilíndricos (shells).
Passo 7
Usando o método dos cascos cilíndricos, a fórmula para o volume é:
Onde:
-
é a distância vertical da reta de rotação até um ponto genérico da região, -
e são as funções que descrevem as fronteiras direita e esquerda da região, respectivamente, -
e são os limites de integração.
Passo 8
Aplicando os valores do nosso problema:
-
(já que a reta de rotação é ), -
, -
, -
, -
.
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 10
Vamos multiplicar os termos:
Agora, a integral é:
Passo 11
Vamos integrar termo a termo:
Passo 12
Agora, avaliamos a integral definida de 1 a 4:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.1) e o eixo
, ao redor do eixo
(12.1)
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da elipse
em torno do:
(11.1) Eixo maior
(11.1) Eixo maior
Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada:
(14.2) Área delimitada pela curva e o eixo
(14.2) Área delimitada pela curva
Transforme as seguintes integrais para coordenadas polares e calcule-as