Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio
e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são semi-elipses, todas situadas em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm o eixo menor como cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro e a medida do eixo maior igual ao dobro da medida do eixo menor. (Considere a área da elipse de semi-eixos maior e menor
e
, respectivamente, igual a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume de um sólido que tem como base um círculo de raio
. As “fatias” desse sólido, cortadas ao longo de um diâmetro do círculo, são semi-elipses. Essas semi-elipses têm alguns detalhes importantes: o eixo menor delas é uma corda do círculo, perpendicular ao diâmetro escolhido, e o eixo maior é o dobro do eixo menor. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular volumes de sólidos por integração, usando a área das semi-elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o círculo no plano
com centro na origem. O diâmetro ao qual as seções transversais são tomadas pode ser, por exemplo, o eixo
. Assim, para cada posição
ao longo do diâmetro, teremos uma semi-elipse perpendicular a esse diâmetro.
Passo 3
Vamos determinar a largura da corda em cada posição
. No círculo de raio
, a equação é
. Para um dado
, a corda perpendicular tem comprimento
, onde
. Então, o eixo menor
da semi-elipse é
.
Passo 4
Segundo o enunciado, o eixo maior
da semi-elipse é o dobro do eixo menor. Então,
.
Passo 5
A área de uma elipse completa é
. Mas como temos uma semi-elipse, a área será metade disso:
Passo 6
Para encontrar o volume do sólido, vamos integrar a área das semi-elipses ao longo do diâmetro, ou seja, de
até
:
Passo 7
Vamos calcular essa integral:
Passo 8
Substituindo os limites:
Resposta
O volume do sólido é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
; R é região
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da função
, com
, em torno do eixo
.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da elipse
em torno do:
(11.1) Eixo maior
(11.1) Eixo maior
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre o(s) gráfico(s) de:
(12.1) e o eixo
, ao redor do eixo
(12.1)