Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são semi-elipses, todas situadas em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm o eixo menor como cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro e a medida do eixo maior igual ao dobro da medida do eixo menor. (Considere a área da elipse de semi-eixos maior e menor e , respectivamente, igual a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o volume de um sólido que tem como base um círculo de raio . As “fatias” desse sólido, cortadas ao longo de um diâmetro do círculo, são semi-elipses. Essas semi-elipses têm alguns detalhes importantes: o eixo menor delas é uma corda do círculo, perpendicular ao diâmetro escolhido, e o eixo maior é o dobro do eixo menor. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular volumes de sólidos por integração, usando a área das semi-elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o círculo no plano com centro na origem. O diâmetro ao qual as seções transversais são tomadas pode ser, por exemplo, o eixo . Assim, para cada posição ao longo do diâmetro, teremos uma semi-elipse perpendicular a esse diâmetro.

Passo 3

Vamos determinar a largura da corda em cada posição . No círculo de raio , a equação é . Para um dado , a corda perpendicular tem comprimento , onde . Então, o eixo menor da semi-elipse é .

Passo 4

Segundo o enunciado, o eixo maior da semi-elipse é o dobro do eixo menor. Então, .

Passo 5

A área de uma elipse completa é . Mas como temos uma semi-elipse, a área será metade disso:
Á

Passo 6

Para encontrar o volume do sólido, vamos integrar a área das semi-elipses ao longo do diâmetro, ou seja, de até :

Passo 7

Vamos calcular essa integral:

Passo 8

Substituindo os limites:

Resposta

O volume do sólido é .

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(11.1) Eixo maior
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(12.1) e o eixo , ao redor do eixo