Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da função f(x) = (e^x + e^(-x)) / 2, com x em [-1, 1], em torno do eixo O x.

Passo 1

Vamos calcular o volume do sólido que a gente ganha ao girar a área delimitada pela função no intervalo de até em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando. A função é conhecida como cosseno hiperbólico, ou . Nosso intervalo de interesse é de a .

Passo 3

Para calcular o volume usando o método dos discos, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos substituir nossa função na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos expandir o quadrado dentro da integral:

Passo 6

Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Vamos calcular cada parte da integral separadamente:
  1. Integral de :
Avaliada de -1 a 1:
  1. Integral de 2:
Avaliada de -1 a 1:
  1. Integral de :
Avaliada de -1 a 1:

Passo 8

Agora, somamos as três partes que calculamos:

Passo 9

Finalmente, multiplicamos pelo fator que estava fora da integral:

Resposta

O volume do sólido obtido é:
ú

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