Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da função , com , em torno do eixo .
Passo 1
Vamos calcular o volume do sólido que a gente ganha ao girar a área delimitada pela função no intervalo de até em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando. A função é conhecida como cosseno hiperbólico, ou . Nosso intervalo de interesse é de a .
Passo 3
Para calcular o volume usando o método dos discos, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, e .
Passo 4
Vamos substituir nossa função na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos expandir o quadrado dentro da integral:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Vamos calcular cada parte da integral separadamente:
1. **Integral de :**
Avaliada de -1 a 1:
2. **Integral de 2:**
Avaliada de -1 a 1:
3. **Integral de :**
Avaliada de -1 a 1:
Passo 8
Agora, somamos as três partes que calculamos:
Passo 9
Finalmente, multiplicamos pelo fator que estava fora da integral:
Resposta
O volume do sólido obtido é:
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração e inverta a ordem e calcule as seguintes integrais:
Calcule o volume do sólido que tem para base um círculo cujo raio mede 3 u . c. e cujas seções transversais a um diâmetro desta são quadrados, todos contidos em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm como um dos lados cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro.
Calcule , onde ; R é região
Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são semi-elipses, todas situadas em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm o eixo menor como cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro e a medida do eixo maior igual ao dobro da medida do eixo menor. (Considere a área da elipse de semi-eixos maior e menor e , respectivamente, igual a .