Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da função
, com
, em torno do eixo
.
Passo 1
Vamos calcular o volume do sólido que a gente ganha ao girar a área delimitada pela função
no intervalo de
até
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando. A função
é conhecida como cosseno hiperbólico, ou
. Nosso intervalo de interesse é de
a
.
Passo 3
Para calcular o volume usando o método dos discos, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos substituir nossa função
na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos expandir o quadrado dentro da integral:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Vamos calcular cada parte da integral separadamente:
- Integral de
:
Avaliada de -1 a 1:
- Integral de 2:
Avaliada de -1 a 1:
- Integral de
:
Avaliada de -1 a 1:
Passo 8
Agora, somamos as três partes que calculamos:
Passo 9
Finalmente, multiplicamos pelo fator
que estava fora da integral:
Resposta
O volume do sólido obtido é: