Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da função , com , em torno do eixo .

Passo 1

Vamos calcular o volume do sólido que a gente ganha ao girar a área delimitada pela função no intervalo de até em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos lidando. A função é conhecida como cosseno hiperbólico, ou . Nosso intervalo de interesse é de a .

Passo 3

Para calcular o volume usando o método dos discos, usamos a seguinte fórmula: Aqui, e .

Passo 4

Vamos substituir nossa função na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos expandir o quadrado dentro da integral:

Passo 6

Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Vamos calcular cada parte da integral separadamente: 1. **Integral de :** Avaliada de -1 a 1: 2. **Integral de 2:** Avaliada de -1 a 1: 3. **Integral de :** Avaliada de -1 a 1:

Passo 8

Agora, somamos as três partes que calculamos:

Passo 9

Finalmente, multiplicamos pelo fator que estava fora da integral:

Resposta

O volume do sólido obtido é: ú

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Esboce a região de integração e inverta a ordem e calcule as seguintes integrais:
Calcule o volume do sólido que tem para base um círculo cujo raio mede 3 u . c. e cujas seções transversais a um diâmetro desta são quadrados, todos contidos em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm como um dos lados cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro.
Calcule , onde ; R é região
Calcule o volume de um sólido que tem para base um círculo de raio e cujas seções transversais a um diâmetro da mesma são semi-elipses, todas situadas em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm o eixo menor como cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro e a medida do eixo maior igual ao dobro da medida do eixo menor. (Considere a área da elipse de semi-eixos maior e menor e , respectivamente, igual a .