Calcule o volume do sólido que tem para base um círculo cujo raio mede 3 u . c. e cujas seções transversais a um diâmetro desta são quadrados, todos contidos em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm como um dos lados cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que tem como base um círculo com raio de 3 unidades de comprimento (u.c.). As seções transversais desse sólido, quando cortadas perpendicularmente a um diâmetro desse círculo, são quadrados. Esses quadrados estão todos no mesmo lado do plano da base e têm como um dos lados cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo integral, especialmente integração para somar as áreas dos quadrados ao longo do diâmetro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como estão dispostos os quadrados no sólido. Imagine o diâmetro do círculo como o eixo x, variando de -3 a 3 (já que o raio é 3 u.c.). Para cada posição x nesse diâmetro, temos um quadrado cuja base é uma corda do círculo perpendicular ao diâmetro. Precisamos encontrar a área desses quadrados em termos de x.
Passo 3
Vamos encontrar o comprimento da corda que define a base de cada quadrado. Em um círculo de raio r, a distância de um ponto na circunferência ao centro (x, 0) é dada por
. Como a corda é perpendicular ao diâmetro, seu comprimento será
. No nosso caso,
, então o comprimento da corda é
.
Passo 4
Como essa corda é um dos lados do quadrado, o lado do quadrado também é
. A área do quadrado, portanto, é o quadrado desse comprimento:
Passo 5
Para encontrar o volume total do sólido, vamos integrar a área dos quadrados ao longo do diâmetro, de
a
:
Como a função é par (simétrica em relação ao eixo y), podemos simplificar a integração de -3 a 3 para o dobro da integral de 0 a 3:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Avaliado de 0 a 3:
Multiplicando por 2:
Resposta
O volume do sólido é de 144 unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule, usando integral dupla, o volume: do sólido limitado pela superfície
, os planos
e
e os três planos coordenados.
Utilizando integral de seções planas paralelas, mostre que o volume do cone circular reto, de altura
e raio da base
, é igual a
.
Esboce a região de integração e inverta a ordem e calcule as seguintes integrais:
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da função
, com
, em torno do eixo
.