Esboce a região de integração e inverta a ordem e calcule as seguintes integrais: integral0^1 integraly^1 y e^x^3 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para esboçarmos a região de integração, invertermos a ordem das integrais e depois calcularmos a integral integral0^1 integraly^1 y e^x^3 , dx , dy. Vamos trabalhar com integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender como a região de integração está definida e como podemos reescrevê-la invertendo os limites das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Temos y variando de 0 a 1, e para cada y, x varia de y até 1. Isso significa que nossa região está no primeiro quadrante, abaixo da reta x = y e acima do eixo x. Se imaginar, é um triângulo com vértices em (0,0), (1,1) e (1,0).

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem das integrais. Para isso, precisamos ver como x e y estão variando. Originalmente, y vai de 0 a 1, e para cada y, x vai de y a 1. Se invertermos, fixamos x primeiro: x vai de 0 a 1, e para cada x, y vai de 0 até x. Assim, a nova integral fica:
integral0^1 integral0^x y e^x^3 , dy , dx

Passo 4

Vamos calcular a nova integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^x y e^x^3 , dy
Note que e^x^3 é constante em relação a y, então podemos tirá-lo da integral:
e^x^3 integral0^x y , dy = e^x^3 [ y^22 ]0^x = e^x^3 cdot x^22
Agora, a integral fica:
integral0^1 x^22 e^x^3 , dx
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja u = x^3, então du = 3x^2 , dx, ou seja, x^2 , dx = du3. Substituindo:
integralu=0^1 12 e^u cdot du3 = 16 integral0^1 e^u , du = 16 [ e^u ]0^1 = 16 (e - 1)

Resposta

A integral vale e - 16.

Exercícios relacionados