Esboce a região de integração e inverta a ordem e calcule as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para esboçarmos a região de integração, invertermos a ordem das integrais e depois calcularmos a integral
. Vamos trabalhar com integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender como a região de integração está definida e como podemos reescrevê-la invertendo os limites das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Temos
variando de
a
, e para cada
,
varia de
até
. Isso significa que nossa região está no primeiro quadrante, abaixo da reta
e acima do eixo
. Se imaginar, é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem das integrais. Para isso, precisamos ver como
e
estão variando. Originalmente,
vai de
a
, e para cada
,
vai de
a
. Se invertermos, fixamos
primeiro:
vai de
a
, e para cada
,
vai de
até
. Assim, a nova integral fica:
Passo 4
Vamos calcular a nova integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Note que
é constante em relação a
, então podemos tirá-lo da integral:
Agora, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Resposta
A integral vale
.