Esboce a região de integração e inverta a ordem e calcule as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para esboçarmos a região de integração, invertermos a ordem das integrais e depois calcularmos a integral . Vamos trabalhar com integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender como a região de integração está definida e como podemos reescrevê-la invertendo os limites das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. Temos variando de a , e para cada , varia de até . Isso significa que nossa região está no primeiro quadrante, abaixo da reta e acima do eixo . Se imaginar, é um triângulo com vértices em , e .

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem das integrais. Para isso, precisamos ver como e estão variando. Originalmente, vai de a , e para cada , vai de a . Se invertermos, fixamos primeiro: vai de a , e para cada , vai de até . Assim, a nova integral fica:

Passo 4

Vamos calcular a nova integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Note que é constante em relação a , então podemos tirá-lo da integral:
Agora, a integral fica:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja , então , ou seja, . Substituindo:

Resposta

A integral vale .

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Calcule o volume do sólido que tem para base um círculo cujo raio mede 3 u . c. e cujas seções transversais a um diâmetro desta são quadrados, todos contidos em um mesmo semi-espaço em relação ao plano que a contem, e que têm como um dos lados cordas da circunferência da base, perpendiculares a esse diâmetro.
Calcule, usando integral dupla, o volume: do sólido limitado pela superfície , os planos e e os três planos coordenados.
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do plano limitada pelo gráfico da função , com , em torno do eixo .
Calcule , onde ; R é região