Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , do conjunto de todos os pares ( ) tais que: e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia é calcular o volume de um sólido que a gente forma ao girar uma região em torno do eixo . A região é definida pelas desigualdades e . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As curvas que delimitam a região são (que é uma hipérbole) e (uma linha horizontal). Além disso, limitamos entre 1 e 2. Então, estamos olhando para a área entre essas curvas para de 1 a 2.
Passo 3
Para encontrar o volume do sólido de rotação em torno do eixo , vamos usar o método dos discos. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde é a função de cima e a função de baixo na região.
Passo 4
No nosso caso, e . Os limites de integração são e . Então, substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
A integral de 1 em relação a é , e a integral de é .