Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x, y ) tais que: 1/x <= y <= 1 e 1 <= x <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia é calcular o volume de um sólido que a gente forma ao girar uma região em torno do eixo x. A região é definida pelas desigualdades 1/x <= y <= 1 e 1 <= x <= 2. Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos girando. As curvas que delimitam a região são (que é uma hipérbole) e (uma linha horizontal). Além disso, limitamos x entre 1 e 2. Então, estamos olhando para a área entre essas curvas para x de 1 a 2.

Passo 3

Para encontrar o volume do sólido de rotação em torno do eixo x, vamos usar o método dos discos. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde f(x) é a função de cima e g(x) a função de baixo na região.

Passo 4

No nosso caso, e . Os limites de integração são e . Então, substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
A integral de 1 em relação a x é x, e a integral de é .

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 1 a 2:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido é pi / 2 unidades cúbicas.

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