Resolva o problema de valor inicial (2x - y) dx + (2y - x) dy = 0, y(1) = 3 e determine em que intervalo a solução está definida.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem dada por:
E uma condição inicial que diz que quando , . Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar em função de e também descobrir em qual intervalo essa solução é válida.
Para resolver esse tipo de equação, precisamos verificar se ela é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante. Isso nos ajudará a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma:
é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a :
Identificando e na nossa equação:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, existe uma função potencial tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função de que surge da integração. Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Simplificando:
Integrando em relação a :
Então, a função potencial completa é:

Passo 4

Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos a uma constante:
Esta é a solução geral da equação diferencial. Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante .

Passo 5

Aplicando a condição inicial :
Então, a solução particular é:

Passo 6

Para expressar em função de , podemos reorganizar a equação:
Essa é uma equação quadrática em . Podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Para que a expressão dentro da raiz seja real, precisamos que:

Resposta

A solução da equação diferencial é:
E essa solução está definida no intervalo:

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