Resolva o problema de valor inicial
e determine em que intervalo a solução está definida.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem dada por:
E uma condição inicial que diz que quando
,
. Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar
em função de
e também descobrir em qual intervalo essa solução é válida.
Para resolver esse tipo de equação, precisamos verificar se ela é exata ou se precisamos encontrar um fator integrante. Isso nos ajudará a simplificar a equação e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma:
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
:
Identificando
e
na nossa equação:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Como a equação é exata, existe uma função potencial
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que surge da integração. Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Simplificando:
Integrando
em relação a
:
Então, a função potencial completa é:
Passo 4
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos
a uma constante:
Esta é a solução geral da equação diferencial. Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
.
Passo 5
Aplicando a condição inicial
:
Então, a solução particular é:
Passo 6
Para expressar
em função de
, podemos reorganizar a equação:
Essa é uma equação quadrática em
. Podemos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Para que a expressão dentro da raiz seja real, precisamos que:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
E essa solução está definida no intervalo: