Calcule integral0^raiz2 integraly^raiz4-y^2 1raiz1+x^2+y^2 d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos para calcular a integral dupla:
integral0^raiz2 integraly^raiz4 - y^2 1raiz1 + x^2 + y^2 , dx , dy
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla. Vamos precisar usar mudanças de coordenadas para facilitar a resolução, além de entender bem os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites para vão de até , e para cada valor de , varia de até . Isso descreve uma região no primeiro quadrante do plano .
Para simplificar a integral, é útil mudar para coordenadas polares, onde e . Nas coordenadas polares, a expressão se torna , o que simplifica bastante a parte do denominador da nossa integral.

Passo 3

Vamos fazer a mudança para coordenadas polares. Primeiro, precisamos expressar os limites de e na nova coordenada.
Observando os limites de de a e de a , percebemos que a região de integração é um setor circular.
Em coordenadas polares, o raio vai de até (já que sugere um círculo de raio ), e o ângulo vai de a (porque corresponde a ).

Passo 4

Com os limites definidos, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Lembrando que integraltheta=0^pi4 integralr=0^2 1raiz1 + r^2 cdot r , dr , dtheta se transforma em , temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a integral0^2 rraiz1 + r^2 , dr . Vamos simplificar a expressão:
12 integralu=1^u=5 1raizu , du = 12 [ 2raizu ]1^5 = raiz5 - 1
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples: deixe , então , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, voltamos à integral externa em relação a integral0^pi4 (raiz5 - 1) , dtheta = (raiz5 - 1) [ theta ]0^pi4 = (raiz5 - 1) cdot pi4 :

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:
pi4 ( raiz5 - 1 )

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