Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos para calcular a integral dupla:
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla. Vamos precisar usar mudanças de coordenadas para facilitar a resolução, além de entender bem os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Os limites para
vão de
até
, e para cada valor de
,
varia de
até
. Isso descreve uma região no primeiro quadrante do plano
.
Para simplificar a integral, é útil mudar para coordenadas polares, onde
e
. Nas coordenadas polares, a expressão
se torna
, o que simplifica bastante a parte do denominador da nossa integral.
Passo 3
Vamos fazer a mudança para coordenadas polares. Primeiro, precisamos expressar os limites de
e
na nova coordenada.
Observando os limites de
de
a
e
de
a
, percebemos que a região de integração é um setor circular.
Em coordenadas polares, o raio
vai de
até
(já que
sugere um círculo de raio
), e o ângulo
vai de
a
(porque
corresponde a
).
Passo 4
Com os limites definidos, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Lembrando que
se transforma em
, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
. Vamos simplificar a expressão:
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples: deixe
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, voltamos à integral externa em relação a
:
Resposta
Portanto, o valor da integral dupla é: