Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis
que elimina a raiz do integrando.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um integral que é assim:
A questão pede para usar o método da substituição inversa para mudar a variável
de modo que a raiz quadrada desapareça da expressão. Basicamente, a gente vai escolher uma nova variável que simplifique a integral, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa substituição inversa. Esse método envolve trocar a variável original por uma nova de forma que simplifique a parte complicada do integrando. No nosso caso, a raiz quadrada
está deixando a integral meio complicada.
Passo 3
Para eliminar a raiz
, uma boa jogada é usar uma substituição trigonométrica. Sabemos que:
Então, podemos relacionar isso com nossa expressão dentro da raiz. Vamos deixar
. Assim:
E a raiz fica:
Passo 4
Com
, precisamos também mudar o diferencial
. Derivando
em relação a
:
Então, vamos substituir tudo na integral original:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, a integral ficou sem a raiz quadrada, o que facilita muito para resolver.
Passo 6
Finalmente, vamos ajustar os limites de integração. Quando
:
E quando
:
Então, nossa nova integral fica:
Resposta
A mudança de variável que elimina a raiz no integrando é
, e a integral transformada fica: