Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis x=g(t) que elimina a raiz do integrando.
integral0^a x^2 raiza^2-x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um integral que é assim:
integral0^a x^2 raiza^2-x^2 , dx
A questão pede para usar o método da substituição inversa para mudar a variável de modo que a raiz quadrada desapareça da expressão. Basicamente, a gente vai escolher uma nova variável que simplifique a integral, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa substituição inversa. Esse método envolve trocar a variável original por uma nova de forma que simplifique a parte complicada do integrando. No nosso caso, a raiz quadrada está deixando a integral meio complicada.

Passo 3

Para eliminar a raiz sin^2theta + cos^2theta = 1 , uma boa jogada é usar uma substituição trigonométrica. Sabemos que:
a^2 - x^2 = a^2 - a^2 sin^2t = a^2 cos^2t
Então, podemos relacionar isso com nossa expressão dentro da raiz. Vamos deixar raiza^2 - x^2 = a cos t . Assim:
E a raiz fica:

Passo 4

Com dx = a cos t , dt , precisamos também mudar o diferencial integral x^2 raiza^2-x^2 , dx = integral (a sin t)^2 cdot (a cos t) cdot (a cos t , dt) . Derivando em relação a :
Então, vamos substituir tudo na integral original:

Passo 5

Simplificando a expressão:
= integral a^2 sin^2t cdot a cos t cdot a cos t , dt
= a^4 integral sin^2t cos^2t , dt
Agora, a integral ficou sem a raiz quadrada, o que facilita muito para resolver.

Passo 6

Finalmente, vamos ajustar os limites de integração. Quando 0 = a sin t Rightarrow t = 0 :
a = a sin t Rightarrow sin t = 1 Rightarrow t = pi2
E quando a^4 integral0^pi2 sin^2t cos^2t , dt :
Então, nossa nova integral fica:

Resposta

A mudança de variável que elimina a raiz no integrando é a^4 integral0^pi2 sin^2t cos^2t , dt , e a integral transformada fica:

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