Calcule as integrais indefinida
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral indefinida de
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar uma técnica de substituição, que é bem útil quando temos compostos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que
é
e
é
. A ideia aqui é escolher uma parte da função para substituir por uma variável nova, facilitando a integração.
Vamos deixar
. Assim, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, observe que na nossa integral, temos
. Com a substituição
, isso fica mais simples:
Passo 4
Agora, integrar
é direto. A regra de integração para potências de
é:
Aplicando isso:
Passo 5
Finalmente, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
A integral indefinida é
.
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Use integração por partes para provar as seguintes relações de igualdade.
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo x , de todos os pares ordenados
tais que. Desenhe os sólidos de revolução.
Calcule o volume do sólido pela rotação em torno do eixo y, de todos os pares ordenados
tais que. Desenhe os sólidos de revolução.
e