Calcule as integrais indefinida
integral tg^5(x) sec ^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral indefinida de tg^5(x) sec^2(x) , dx. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar uma técnica de substituição, que é bem útil quando temos compostos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que tg(x) é tan(x) e sec(x) é sec(x). A ideia aqui é escolher uma parte da função para substituir por uma variável nova, facilitando a integração.
Vamos deixar u = tan(x). Assim, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, que é du/dx = sec^2(x). Isso significa que du = sec^2(x) , dx.

Passo 3

Agora, observe que na nossa integral, temos tan^5(x) sec^2(x) , dx. Com a substituição u = tan(x), isso fica mais simples:
integral tan^5(x) sec^2(x) , dx = integral u^5 , du

Passo 4

Agora, integrar u^5 é direto. A regra de integração para potências de u é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.
Aplicando isso:
integral u^5 , du = u^66 + C

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável original substituindo u = tan(x):
u^66 + C = tan^6(x)6 + C

Resposta

A integral indefinida é tan^6(x)6 + C.

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