Calcule o volume do sólido sob o plano e acima do triângulo com vértices , e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está embaixo do plano e acima de um triângulo com os vértices em , e . A matéria que estamos usando aqui é integração dupla, que é uma ferramenta poderosa para encontrar volumes nessa situação. Vamos precisar configurar uma integral dupla sobre a região do triângulo para achar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O triângulo tem vértices em , e . Isso significa que os limites para vão de 0 a 1. Para cada , o vai de 0 até a reta que liga e , que é .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla. O volume será igual à dupla integral da função sobre a região triangular. Então, temos:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Substituindo os limites:

Passo 5

Simplificando a expressão:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a :

Passo 7

Substituindo os limites:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Determine o centro de massa da região limitada por e com densidade constante .
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