Calcule o volume do sólido sob o plano
e acima do triângulo com vértices
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está embaixo do plano
e acima de um triângulo com os vértices em
,
e
. A matéria que estamos usando aqui é integração dupla, que é uma ferramenta poderosa para encontrar volumes nessa situação. Vamos precisar configurar uma integral dupla sobre a região do triângulo para achar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O triângulo tem vértices em
,
e
. Isso significa que os limites para
vão de 0 a 1. Para cada
, o
vai de 0 até a reta que liga
e
, que é
.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral dupla. O volume
será igual à dupla integral da função
sobre a região triangular. Então, temos:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Substituindo os limites:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
:
Passo 7
Substituindo os limites:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine o centro de massa da região limitada por
e
com densidade constante
.
Calcule a área de superfície do gráfico de
sobre a região
.