Determine o centro de massa da região limitada por
e
com densidade constante
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o centro de massa da região delimitada pelas curvas
e
, considerando que a densidade é constante, ou seja,
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para determinar as coordenadas
do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração da região. Para isso, encontramos os pontos de interseção das curvas
e
.
Igualando as duas equações:
Então, os limites para
são de
a
. Para cada
nesse intervalo,
varia de
até
.
Passo 3
Vamos calcular a área da região, que é essencial para determinar o centro de massa. A área
é dada por:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral se torna:
Calculando a integral:
Passo 4
Observamos que a região é simétrica em relação ao eixo
. Isso significa que a coordenada
do centro de massa será
, já que os lados esquerdo e direito se equilibram.
Passo 5
Agora, vamos calcular a coordenada
do centro de massa. Para isso, precisamos calcular o momento em y,
, que é dado por:
Integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Calculando a integral:
Portanto:
Passo 6
Finalmente, calculamos
dividindo o momento
pela área
:
Resposta
O centro de massa da região é
.
Exercícios relacionados
Encontre a área de superfície do gráfico de
sobre a região
.
Calcule o volume do cilindro
entre os planos
e
.
Calcule o volume do sólido sob o plano
e acima do triângulo com vértices
,
e
.