Determine o centro de massa da região limitada por e com densidade constante .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o centro de massa da região delimitada pelas curvas e , considerando que a densidade é constante, ou seja, . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para determinar as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração da região. Para isso, encontramos os pontos de interseção das curvas e .
Igualando as duas equações:
Então, os limites para são de a . Para cada nesse intervalo, varia de até .

Passo 3

Vamos calcular a área da região, que é essencial para determinar o centro de massa. A área é dada por:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral se torna:
Calculando a integral:

Passo 4

Observamos que a região é simétrica em relação ao eixo . Isso significa que a coordenada do centro de massa será , já que os lados esquerdo e direito se equilibram.

Passo 5

Agora, vamos calcular a coordenada do centro de massa. Para isso, precisamos calcular o momento em y, , que é dado por:
Integrando em relação a :
Então, a integral fica:
Calculando a integral:
Portanto:

Passo 6

Finalmente, calculamos dividindo o momento pela área :

Resposta

O centro de massa da região é .

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