integral0^1 integral0^1(x^4+y^4) d x d y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla definida de nas variáveis e , onde ambos e variam de 0 a 1. O conteúdo envolvido aqui é cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função primeiro em relação a uma variável e depois em relação à outra.

Passo 2

Vamos começar integrando a função integral x^4 , dx = x^55 em relação a integral y^4 , dx = y^4 x , mantendo constante. A integral de em relação a é:
A integral de em relação a é simplesmente multiplicado por , já que é tratado como uma constante durante essa integração:

Passo 3

Agora, aplicamos os limites de integração de x^55 |0^1 = 1^55 - 0^55 = 15 de 0 a 1 nas expressões que acabamos de encontrar:
y^4 x |0^1 = y^4 cdot 1 - y^4 cdot 0 = y^4

Passo 4

Assim, a integral em relação a 15 + y^4 resulta em:
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a , com variando de 0 a 1.

Passo 5

Vamos integrar integral 15 , dy = 15 y e integral y^4 , dy = y^55 em relação a :

Passo 6

Aplicando os limites de integração de 15 y |0^1 = 15 cdot 1 - 15 cdot 0 = 15 de 0 a 1:
y^55 |0^1 = 1^55 - 0^55 = 15

Passo 7

Somando os resultados das integrais:
15 + 15 = 25

Resposta

25

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