integral0^1 integral0^y e^x1+y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você me passou:
integral0^1 integral0^y e^x1+y ,dx, dy
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. O objetivo é calcular essa área sob a superfície definida pela função no domínio onde varia de 0 a e varia de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem das integrações. A integral interna é em relação a de 0 a , e depois integrarmos em relação a de 0 a 1. Mas, às vezes, mudar a ordem de integração pode simplificar nossos cálculos. No nosso caso, vamos manter a ordem atual para facilitar.

Passo 3

Vamos calcular a integral interna primeiro:
integral0^y e^x1+y ,dx
Perceba que 11+y integral0^y e^x ,dx é uma constante em relação a integral e^x ,dx = e^x + C , então podemos tirá-la de fora da integral:
e^y - e^0 = e^y - 1
Integrando e^y - 11+y em relação a :
Aplicando os limites de integração de 0 a :
Então, a integral interna fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^1 e^y - 11+y ,dy de 0 a 1:
Essa integral não possui uma antiderivada elementar, o que significa que não podemos expressá-la em termos de funções básicas. Portanto, vamos precisar aproximar o valor dessa integral usando métodos numéricos, como a regra dos trapézios ou Simpson.

Passo 5

Vamos usar uma aproximação numérica simples, como a regra dos trapézios, para calcular o valor aproximado dessa integral. Dividindo o intervalo de 0 a 1 em, digamos, 4 subintervalos para facilitar o cálculo:
Calculamos os valores da função y=0: e^0 - 11+0 &= 0 y=0.25: e^0.25 - 11.25 &approx 1.2840 - 11.25 approx 0.2272 y=0.5: e^0.5 - 11.5 &approx 1.6487 - 11.5 approx 0.4325 y=0.75: e^0.75 - 11.75 &approx 2.1170 - 11.75 approx 0.6531 y=1: e^1 - 12 &approx 2.7183 - 12 approx 0.8592 nos pontos Integral approx De, approx 0.252 [0 + 2(0.2272) + 2(0.4325) + 2(0.6531) + 0.8592] approx 0.125 [0 + 0.4544 + 0.8650 + 1.3062 + 0.8592] approx 0.125 times 3.484 approx 0.4355 , , , e :
Aplicando a regra dos trapézios:
Onde :

Resposta

A integral dupla vale aproximadamente 0,4355.

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