Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você me passou:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. O objetivo é calcular essa área sob a superfície definida pela função no domínio onde varia de 0 a e varia de 0 a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem das integrações. A integral interna é em relação a de 0 a , e depois integrarmos em relação a de 0 a 1. Mas, às vezes, mudar a ordem de integração pode simplificar nossos cálculos. No nosso caso, vamos manter a ordem atual para facilitar.

Passo 3

Vamos calcular a integral interna primeiro:
Perceba que é uma constante em relação a , então podemos tirá-la de fora da integral:
Integrando em relação a :
Aplicando os limites de integração de 0 a :
Então, a integral interna fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 a 1:
Essa integral não possui uma antiderivada elementar, o que significa que não podemos expressá-la em termos de funções básicas. Portanto, vamos precisar aproximar o valor dessa integral usando métodos numéricos, como a regra dos trapézios ou Simpson.

Passo 5

Vamos usar uma aproximação numérica simples, como a regra dos trapézios, para calcular o valor aproximado dessa integral. Dividindo o intervalo de 0 a 1 em, digamos, 4 subintervalos para facilitar o cálculo:
Calculamos os valores da função nos pontos , , , , e :
Aplicando a regra dos trapézios:
Onde :

Resposta

A integral dupla vale aproximadamente 0,4355.

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Considere a função dada implicitamente pela equação
onde é constante.
a) Construir o gráfico da função ;
b) Determinar o comprimento total do gráfico da função .