Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que você me passou:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. O objetivo é calcular essa área sob a superfície definida pela função
no domínio onde
varia de 0 a
e
varia de 0 a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a ordem das integrações. A integral interna é em relação a
de 0 a
, e depois integrarmos em relação a
de 0 a 1. Mas, às vezes, mudar a ordem de integração pode simplificar nossos cálculos. No nosso caso, vamos manter a ordem atual para facilitar.
Passo 3
Vamos calcular a integral interna primeiro:
Perceba que
é uma constante em relação a
, então podemos tirá-la de fora da integral:
Integrando
em relação a
:
Aplicando os limites de integração de 0 a
:
Então, a integral interna fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Essa integral não possui uma antiderivada elementar, o que significa que não podemos expressá-la em termos de funções básicas. Portanto, vamos precisar aproximar o valor dessa integral usando métodos numéricos, como a regra dos trapézios ou Simpson.
Passo 5
Vamos usar uma aproximação numérica simples, como a regra dos trapézios, para calcular o valor aproximado dessa integral. Dividindo o intervalo de 0 a 1 em, digamos, 4 subintervalos para facilitar o cálculo:
Calculamos os valores da função
nos pontos
,
,
,
, e
:
Aplicando a regra dos trapézios:
Onde
:
Resposta
A integral dupla vale aproximadamente 0,4355.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido sob o plano
e acima do triângulo com vértices
,
e
.
Calcule a área de superfície do gráfico de
sobre a região
.
Considere a função
dada implicitamente pela equação
onde
é constante.
a) Construir o gráfico da função ;
b) Determinar o comprimento total do gráfico da função
.
a) Construir o gráfico da função
b) Determinar o comprimento total do gráfico da função