Calcule, usando mudança de coordenadas:
d) Calcule o volume do sólido intersecção da esfera com o parabolóide .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um problema de cálculo de volume usando mudança de coordenadas. A gente precisa encontrar o volume da região que está dentro da esfera e abaixo do parabolóide . Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que facilitam muito na hora de integrar superfícies com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Nessa mudança, a gente substitui e por e , onde é a distância do ponto até o eixo e é o ângulo em relação ao eixo . As equações ficam:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .
Passo 3
Vamos reescrever as equações da esfera e do parabolóide em coordenadas cilíndricas.
Para a esfera:
E como queremos .
Para o parabolóide:
Então, o parabolóide nos dá .
Passo 4
Agora, queremos encontrar os limites para , e .
Primeiro, vamos descobrir onde as duas superfícies se interceptam. Igualando as duas expressões para :
Resolvendo essa equação para , encontramos , então .
Então, varia de 0 a , varia de 0 a (já que a simetria é completa ao redor do eixo ), e varia de até .
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a :
Para a primeira integral, fazemos uma substituição , :