Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada de
. Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções compostas e produtos de funções. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto e conhecer as derivadas de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
Para derivar o produto dessas duas funções (
), usamos a regra do produto que diz:
Isso significa que a derivada de
é igual à derivada de
vezes
mais
vezes a derivada de
.
Passo 3
Vamos calcular
, a derivada de
.
Sabemos que a derivada de
em relação a
é:
Aplicando isso, temos:
Aqui,
é a constante que multiplica
no expoente.
Passo 4
Agora, vamos calcular
, a derivada de
.
A derivada de
é:
Portanto:
Onde
é a constante multiplicando
dentro da função trigonométrica.
Passo 5
Com as derivadas
e
calculadas, aplicamos a regra do produto:
Podemos fatorar
para simplificar a expressão:
Resposta
A derivada de
é:
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Encontre o limite utilizando a regra de LHôpital.
Calcule
.
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável na base) nem potência (pois possui a variável
no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável
Se
use a derivação implícita para determinar
e depois
.
Construa os gráficos das seguintes funções, dê o seu período e a imagem.
a)
a)