Calcule y'.
y = (A x)^x / raiz(cubica(B x + 3), x > 0)
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!

Passo 1

Então, a gente tem a função com . Nosso objetivo é calcular a derivada de em relação a , ou seja, . Para resolver isso, vamos usar derivação logarítmica, que é uma técnica útil quando a função envolve variáveis no expoente e na base, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação. Isso nos dá:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos.

Passo 3

Usando a propriedade de logaritmos que diz que , temos:

Passo 4

Agora, aplicamos a propriedade para simplificar cada termo:

Passo 5

Vamos expandir usando a propriedade :

Passo 6

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que :

Passo 7

Derivando cada termo separadamente:
  • Para : como é uma constante, a derivada é .
  • Para : usamos a regra do produto:
  • Para : usamos a regra da cadeia:

Passo 8

Juntando todas as derivadas:

Passo 9

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Passo 10

Substituímos pela expressão original:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Encontre a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva y = raizB(x) + 2 no ponto 1,3.
Dica: Utilize as regras de derivação e a tabela de derivadas elementares para calcular m_t (obtenha a fórmula geral da derivada e então a valore no ponto de interesse).
Calcule y'.
y = A^(1/x) / x^B
Encontre o limite utilizando a regra de LHôpital.
lim x 0^+[sec (A x)]^1 /(B x^2)
Calcule y'.
y = e^(A x) tg(B x)