Calcule
.
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável
na base) nem potência (pois possui a variável
no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável
Passo 1
Então, a gente tem a função
com
. Nosso objetivo é calcular a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar derivação logarítmica, que é uma técnica útil quando a função envolve variáveis no expoente e na base, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação. Isso nos dá:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos.
Passo 3
Usando a propriedade de logaritmos que diz que
, temos:
Passo 4
Agora, aplicamos a propriedade
para simplificar cada termo:
Passo 5
Vamos expandir
usando a propriedade
:
Passo 6
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
:
Passo 7
Derivando cada termo separadamente:
- Para
: como é uma constante, a derivada é . - Para
: usamos a regra do produto:
- Para
: usamos a regra da cadeia:
Passo 8
Juntando todas as derivadas:
Passo 9
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Substituímos
pela expressão original:
Resposta
A derivada de
é:
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Encontre a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva
no ponto
.
Dica: Utilize as regras de derivação e a tabela de derivadas elementares para calcular (obtenha a fórmula geral da derivada e então a valore no ponto de interesse).
Dica: Utilize as regras de derivação e a tabela de derivadas elementares para calcular
Calcule
.
Encontre o limite utilizando a regra de LHôpital.
Calcule
.