Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada de
. Aqui, vamos trabalhar com derivadas, especificamente usando regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais fácil de derivar. A função dada é:
Podemos escrever isso como:
Assim, transformamos a divisão em uma multiplicação, o que facilita na hora de aplicar as regras de derivação.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Para isso, usaremos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
. Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos primeiro encontrar a derivada de
. Para derivar uma função exponencial com base
, usamos a regra da cadeia:
Explicando:
- Derivada de
é - Aqui,
, então
Então:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Isso é uma função potencia, então usamos a regra do poder:
Simplificando:
Passo 6
Aplicando a regra do produto, combinamos
e
:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar cada termo:
Fatorando
:
Simplificando mais:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Construa os gráficos e dê o período e a imagem das seguintes funções:
Use derivação implicita para obter dy/dx.
Encontre a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva
no ponto
.
Dica: Utilize as regras de derivação e a tabela de derivadas elementares para calcular (obtenha a fórmula geral da derivada e então a valore no ponto de interesse).
Dica: Utilize as regras de derivação e a tabela de derivadas elementares para calcular
Calcule
.
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável na base) nem potência (pois possui a variável
no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável