Calcule y'.
y = A^(1/x) / x^B

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada de . Aqui, vamos trabalhar com derivadas, especificamente usando regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais fácil de derivar. A função dada é:
Podemos escrever isso como:
Assim, transformamos a divisão em uma multiplicação, o que facilita na hora de aplicar as regras de derivação.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Para isso, usaremos a regra do produto, que diz que a derivada de é . Aqui, e .

Passo 4

Vamos primeiro encontrar a derivada de . Para derivar uma função exponencial com base , usamos a regra da cadeia:
Explicando:
  • Derivada de é
  • Aqui, , então
Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Isso é uma função potencia, então usamos a regra do poder:
Simplificando:

Passo 6

Aplicando a regra do produto, combinamos e :
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar cada termo:
Fatorando :
Simplificando mais:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Construa os gráficos e dê o período e a imagem das seguintes funções:
y = -1 + sen x
Use derivação implicita para obter dy/dx.
x = sen(x + y)
Encontre a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva y = raizB(x) + 2 no ponto 1,3.
Dica: Utilize as regras de derivação e a tabela de derivadas elementares para calcular m_t (obtenha a fórmula geral da derivada e então a valore no ponto de interesse).
Calcule y'.
y = (A x)^x / raiz(cubica(B x + 3), x > 0)
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável x na base) nem potência (pois possui a variável x no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!