Encontre a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva y = raizB(x) + 2 no ponto 1,3.
Dica: Utilize as regras de derivação e a tabela de derivadas elementares para calcular m_t (obtenha a fórmula geral da derivada e então a valore no ponto de interesse).

Passo 1

Ok, temos que encontrar a equação da reta tangente e da reta normal à curva no ponto (1, 3). Vamos usar derivadas para descobrir a inclinação da reta tangente e, a partir daí, achar as equações desejadas.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação. Sabemos que é o mesmo que , então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , que nos dará a inclinação da reta tangente. Usamos a regra da potência para derivar :

Passo 4

Queremos a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 5

Com a inclinação da reta tangente e o ponto dado (1, 3), usamos a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é .

Passo 6

A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação é o negativo do inverso da inclinação da tangente:

Passo 7

Usamos novamente a fórmula da reta com a inclinação da normal e o ponto (1, 3):
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é .

Resposta

A equação da reta tangente é e a equação da reta normal é .

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