Encontre a equação da reta tangente e a equação da reta normal à curva
no ponto
.
Dica: Utilize as regras de derivação e a tabela de derivadas elementares para calcular
(obtenha a fórmula geral da derivada e então a valore no ponto de interesse).
Dica: Utilize as regras de derivação e a tabela de derivadas elementares para calcular
Passo 1
Ok, temos que encontrar a equação da reta tangente e da reta normal à curva
no ponto (1, 3). Vamos usar derivadas para descobrir a inclinação da reta tangente e, a partir daí, achar as equações desejadas.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a função para facilitar a derivação. Sabemos que
é o mesmo que
, então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dará a inclinação da reta tangente. Usamos a regra da potência para derivar
:
Passo 4
Queremos a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituímos
na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente
e o ponto dado (1, 3), usamos a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é
.
Passo 6
A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação
é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Passo 7
Usamos novamente a fórmula da reta com a inclinação da normal
e o ponto (1, 3):
Simplificando:
Então, a equação da reta normal é
.
Resposta
A equação da reta tangente é
e a equação da reta normal é
.
Exercícios relacionados
Calcule
.
Construa os gráficos e dê o período e a imagem das seguintes funções:
Calcule
.
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável na base) nem potência (pois possui a variável
no expoente). Ou seja, nenhuma das fórmulas para estas funções pode ser aplicada de imediato. A derivação logarítmica será sua saída para resolver essa alternativa!
Dica: Note que, na alternativa ©, a função no numerador não é nem exponencial (pois possui a variável
Encontre o limite utilizando a regra de LHôpital.