O cálculo de áreas entre funções é uma técnica valiosa em muitas áreas da ciência e pode ser usado para determinar a área de uma região limitada por duas ou mais curvas, bem como para calcular o volume de objetos complexos e encontrar o centro de massa de um objeto. Calcule o volume do sólido de revolução obtido a partir da rotação de y = e, y=0, x=0 e x = 1, em unidades de volume, (u. V. ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Neste exercício, precisamos calcular o volume do sólido que resulta da rotação da área limitada pelas curvas $ y = e $, $ y = 0 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Vamos usar cálculo integral, mais especificamente o método dos discos, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que vamos girar. As curvas $ y = e $ e $ y = 0 $ são linhas horizontais, sendo $ y = e $ uma linha constante um pouco acima do eixo $ x $. As linhas $ x = 0 $ e $ x = 1 $ são verticais e delimitam nosso intervalo de rotação no eixo $ x $ de 0 a 1.

Passo 3

Agora, imaginando essa região sendo girada ao redor do eixo $ x $, vamos formar um cilindro. Para calcular o volume desse cilindro, usamos a fórmula do volume por rotação usando o método dos discos:
x
Aqui, $ f(x) $ é a função que define a fronteira superior da região que está girando (no nosso caso, $ y = e $), e $ [a, b] $ é o intervalo de rotação, que vai de $ x = 0 $ a $ x = 1 $.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula, temos:
V = pi integral0^1 e^2 , dx
Como $ e $ é uma constante, a integral fica mais fácil:
e

Passo 5

Agora, calculamos a integral:
integral0^1 dx = x |0^1 = 1 - 0 = 1
Então, substituindo de volta na expressão do volume:
V = pi e^2 times 1 = pi e^2

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ V = \pi e^2 $ unidades de volume.

Exercícios relacionados