O cálculo de áreas entre funções é uma técnica valiosa em muitas áreas da ciência e pode ser usado para determinar a área de uma região limitada por duas ou mais curvas, bem como para calcular o volume de objetos complexos e encontrar o centro de massa de um objeto. Calcule o volume do sólido de revolução obtido a partir da rotação de y = e, y=0, x=0 e x = 1, em unidades de volume, (u. V. ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! Neste exercício, precisamos calcular o volume do sólido que resulta da rotação da área limitada pelas curvas $ y = e $, $ y = 0 $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Vamos usar cálculo integral, mais especificamente o método dos discos, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que vamos girar. As curvas $ y = e $ e $ y = 0 $ são linhas horizontais, sendo $ y = e $ uma linha constante um pouco acima do eixo $ x $. As linhas $ x = 0 $ e $ x = 1 $ são verticais e delimitam nosso intervalo de rotação no eixo $ x $ de 0 a 1.
Passo 3
Agora, imaginando essa região sendo girada ao redor do eixo $ x $, vamos formar um cilindro. Para calcular o volume desse cilindro, usamos a fórmula do volume por rotação usando o método dos discos:
Aqui, $ f(x) $ é a função que define a fronteira superior da região que está girando (no nosso caso, $ y = e $), e $ [a, b] $ é o intervalo de rotação, que vai de $ x = 0 $ a $ x = 1 $.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Como $ e $ é uma constante, a integral fica mais fácil:
Passo 5
Agora, calculamos a integral:
Então, substituindo de volta na expressão do volume:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ V = \pi e^2 $ unidades de volume.