Na etapa 1 de um procedimento, um quadrado de lado 1 cm é dividido em nove quadrados iguais e, da malha resultante, remove-se o quadrado central. Em seguida, na etapa 2, repete-se esse processo com cada um dos oito quadrados restantes. Na etapa n aplica-se o procedimento descrito a cada um dos quadrados conservados na etapa n -1. Com base nessas informações e sendo n um número muito grande, a soma das áreas dos quadrados removidos até a etapa n pode ser escrita como?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um quadrado de 1 cm de lado que, em cada etapa, é dividido em 9 quadrados menores iguais. A cada etapa, removemos o quadrado central de cada divisão. Vamos trabalhar com conceitos de geometria e séries geométricas para calcular a soma das áreas dos quadrados removidos até uma etapa muito grande, n. Para resolver isso, vamos precisar entender como as áreas diminuem a cada etapa e como somar todas essas áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área do quadrado inicial. Como o lado é 1 cm, a área é:
A0 = 1 , cm^2

Passo 3

Na etapa 1, dividimos o quadrado em 9 quadrados menores iguais. Então, cada quadrado menor tem lado:
1 , cm3 = 13 , cm
A área de cada quadrado menor é:
A1 = (13)^2 = 19 , cm^2
Removemos o quadrado central, então removemos uma área de:
Aremovida, etapa 1 = 19 , cm^2

Passo 4

Na etapa 2, repetimos o processo para cada um dos 8 quadrados restantes da etapa 1. Cada um desses 8 quadrados tem área 19 cm². Dividindo cada um em 9 partes novamente, a área de cada novo quadrado será:
A2 = (13)^2 times 19 = 181 , cm^2
Removemos o quadrado central de cada um dos 8 quadrados, então a área removida na etapa 2 é:
Aremovida, etapa 2 = 8 times 181 = 881 , cm^2

Passo 5

Observando o padrão, em cada etapa n, temos 8^n-1 quadrados sendo divididos, e de cada um removemos uma área de (13)^2n. Portanto, a área removida na etapa n é:
Aremovida, etapa n = 8^n-1 times (19)^n = 8^n-19^n

Passo 6

Para encontrar a soma total das áreas removidas até a etapa n muito grande, precisamos somar todas as áreas removidas em cada etapa. Isso forma uma série geométrica infinita:
S = sumk=1^infty 8^k-19^k
Podemos simplificar essa soma:
S = 19 sumk=0^infty (89)^k
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita sumk=0^infty r^k é 11 - r, onde |r| < 1.

Passo 7

Aplicando a fórmula da série geométrica:
S = 19 times 11 - 89 = 19 times 119 = 19 times 9 = 1 , cm^2

Resposta

A soma das áreas dos quadrados removidos até a etapa n muito grande é 1 cm².

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