Na etapa 1 de um procedimento, um quadrado de lado 1 cm é dividido em nove quadrados iguais e, da malha resultante, remove-se o quadrado central. Em seguida, na etapa 2, repete-se esse processo com cada um dos oito quadrados restantes. Na etapa n aplica-se o procedimento descrito a cada um dos quadrados conservados na etapa n -1. Com base nessas informações e sendo n um número muito grande, a soma das áreas dos quadrados removidos até a etapa n pode ser escrita como?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um quadrado de 1 cm de lado que, em cada etapa, é dividido em 9 quadrados menores iguais. A cada etapa, removemos o quadrado central de cada divisão. Vamos trabalhar com conceitos de geometria e séries geométricas para calcular a soma das áreas dos quadrados removidos até uma etapa muito grande, n. Para resolver isso, vamos precisar entender como as áreas diminuem a cada etapa e como somar todas essas áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área do quadrado inicial. Como o lado é 1 cm, a área é:
Passo 3
Na etapa 1, dividimos o quadrado em 9 quadrados menores iguais. Então, cada quadrado menor tem lado:
A área de cada quadrado menor é:
Removemos o quadrado central, então removemos uma área de:
Passo 4
Na etapa 2, repetimos o processo para cada um dos 8 quadrados restantes da etapa 1. Cada um desses 8 quadrados tem área
cm². Dividindo cada um em 9 partes novamente, a área de cada novo quadrado será:
Removemos o quadrado central de cada um dos 8 quadrados, então a área removida na etapa 2 é:
Passo 5
Observando o padrão, em cada etapa
, temos
quadrados sendo divididos, e de cada um removemos uma área de
. Portanto, a área removida na etapa
é:
Passo 6
Para encontrar a soma total das áreas removidas até a etapa
muito grande, precisamos somar todas as áreas removidas em cada etapa. Isso forma uma série geométrica infinita:
Podemos simplificar essa soma:
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita
é
, onde
.
Passo 7
Aplicando a fórmula da série geométrica:
Resposta
A soma das áreas dos quadrados removidos até a etapa
muito grande é 1 cm².