Calculo A - Funçōes, Limite, Derivaçāo, Integração
integral x^4 e^-x^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver a integral . Isso está dentro da matéria de Cálculo A, mais especificamente em Integração. Para resolver essa integral, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte que está dentro do exponencial, que é u = -x^5 . Isso nos dá uma pista de qual substituição podemos fazer. Vamos definir uma nova variável igual a . Então:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = -5x^4 em relação a du = -5x^4 , dx para substituir também o na integral. Vamos derivar :
Isso significa que:

Passo 4

A ideia aqui é expressar x^4 , dx = -15 , du em termos de para substituir na nossa integral original. Vamos reorganizar a equação que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos substituir integral x^4 e^-x^5 , dx = integral e^u ( -15 , du ) = -15 integral e^u , du e na integral original:

Passo 6

A integral de integral e^u , du = e^u + C em relação a -15 integral e^u , du = -15 e^u + C é bem simples:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Por fim, vamos substituir -15 e^u + C = -15 e^-x^5 + C de volta para termos em função de :

Resposta

integral x^4 e^-x^5 , dx = -15 e^-x^5 + C

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