Calcule as integrais de superfícies de f(x, y, z).
a) f(x, y, z) = x sendo sigma(u, v) = (u, v, u^2 + v) com 0 <= u <= 1, u^2 <= v <= 1.
b) f(x, y, z) = x * y sendo sigma(u, v) = (u - v, u + v, 2u + v + 1) com 0 <= u <= 1, 0 <= v <= u.
c) f(x, y, z) = y sendo sigma(u, v) = (u, v, 1 - u^2) com 0 <= u <= 1, 0 <= v <= raiz(u).
d) f(x, y, z) = x^2 + y^2 sendo sigma descrita por x^2 + y^2 + z^2 = 4 com z ≥ 1.

Passo 1

Vamos calcular a integral de superfície da função sobre a superfície parametrizada por , onde e .
Esse exercício envolve o estudo de integrais de superfície, que fazem parte do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar da parametrização da superfície, das derivadas parciais dessa parametrização, do produto vetorial dessas derivadas para encontrar o vetor normal à superfície, e finalmente, integrar a função dada multiplicada pelo módulo desse vetor sobre a região de parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da parametrização em relação a e . Essas derivadas ajudam a determinar o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, calculamos o produto vetorial das derivadas parciais e para encontrar o vetor normal à superfície:

Passo 4

O elemento de área é dado pelo módulo do vetor normal:

Passo 5

A integral de superfície fica assim:
Como na parametrização, substituímos:

Passo 6

Integramos primeiro em relação a :
Assim, a integral se reduz a:

Passo 7

Fazemos uma substituição para simplificar a integração. Seja , então , ou seja, .
Quando , .
Quando , .
Reescrevendo a integral:
Simplificando:

Passo 8

Distribuímos :
Integrando termo a termo:

Passo 9

Avaliamos nos limites de integração:
Para :
Para :
Substituindo:
Simplificando:

Passo 10

Simplificando as frações:

Resposta

A integral de superfície é .

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