Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
© sumn=1^infty 2 n+1n^2(n+1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o termo geral da sequência das somas parciais da série . Isso envolve conhecimentos de séries infinitas e, mais especificamente, de frações parciais para simplificar os termos. Vamos usar essas ferramentas para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral 2n + 1n^2(n+1)^2 = An + Bn^2 + Cn+1 + D(n+1)^2 usando frações parciais. A ideia é escrever essa fração como uma soma de termos mais simples que se cancelam na soma total.
Assumimos que:
2n + 1 = A cdot n(n+1)^2 + B(n+1)^2 + C cdot n^2(n+1) + Dn^2
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 3

Agora, expandimos e agrupamos os termos:
2n + 1 = A n^3 + 2A n^2 + A n + B n^2 + 2B n + B + C n^3 + C n^2 + D n^2
Agrupando por potências de ( A + C )n^3 + (2A + B + C + D)n^2 + (A + 2B)n + B = 2n + 1 :
A + C = 0 2A + B + C + D = 0 A + 2B = 2 B = 1
Comparando os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação, temos:

Passo 4

Resolvendo o sistema de equações:
  • Da última equação, já sabemos que 2n + 1n^2(n+1)^2 = 1n^2 - 1(n+1)^2 .
  • Da terceira equação: .
  • Da primeira equação: .
  • Da segunda equação: .
Então, a decomposição em frações parciais fica:

Passo 5

Com isso, a soma parcial Sn = sumk=1^n ( 1k^2 - 1(k+1)^2 ) da série até o termo Sn = ( 11^2 - 12^2 ) + ( 12^2 - 13^2 ) + dots + ( 1n^2 - 1(n+1)^2 ) é:
Sn = 1 - 1(n+1)^2
Isso é uma soma telescópica, onde a maioria dos termos se cancelam. Vamos ver isso na prática:
Observamos que cancela com , e assim por diante, restando apenas:

Passo 6

Agora, para determinar se a série converge ou diverge, observamos o comportamento de limn to infty Sn = limn to infty ( 1 - 1(n+1)^2 ) = 1 - 0 = 1 quando tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge, e sua soma é 1.

Resposta

A série converge e sua soma é igual a 1.

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