Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o termo geral da sequência das somas parciais da série . Isso envolve conhecimentos de séries infinitas e, mais especificamente, de frações parciais para simplificar os termos. Vamos usar essas ferramentas para resolver o exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral usando frações parciais. A ideia é escrever essa fração como uma soma de termos mais simples que se cancelam na soma total.
Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 3
Agora, expandimos e agrupamos os termos:
Agrupando por potências de :
Comparando os coeficientes de cada potência de dos dois lados da equação, temos:
Passo 4
Resolvendo o sistema de equações:
Da última equação, já sabemos que 2n + 1n^2(n+1)^2 = 1n^2 - 1(n+1)^2 .
Da terceira equação: .
Da primeira equação: .
Da segunda equação: .
Então, a decomposição em frações parciais fica:
Passo 5
Com isso, a soma parcial Sn = sumk=1^n ( 1k^2 - 1(k+1)^2 ) da série até o termo Sn = ( 11^2 - 12^2 ) + ( 12^2 - 13^2 ) + dots + ( 1n^2 - 1(n+1)^2 ) é:
Sn = 1 - 1(n+1)^2
Isso é uma soma telescópica, onde a maioria dos termos se cancelam. Vamos ver isso na prática:
Observamos que cancela com , e assim por diante, restando apenas:
Passo 6
Agora, para determinar se a série converge ou diverge, observamos o comportamento de limn to infty Sn = limn to infty ( 1 - 1(n+1)^2 ) = 1 - 0 = 1 quando tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge, e sua soma é 1.