Então, a gente tem um exercício de cálculo de uma integral dupla: . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e como lidar com a função .
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a 3. Imagina um gráfico onde o eixo vai de 0 a 1 e, para cada valor de , o começa em e vai até 3.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos descobrir os novos limites de integração. Observando a região, quando varia de 0 a 3, o correspondente varia de 0 a .
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral com a ordem trocada:
Note que não depende de , então podemos simplificar a integral interna.
Passo 5
Vamos integrar em relação a primeiro:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Para resolver 13 cdot 12 integral e^u , du = 16 e^u + C = 16 e^x^2 + C , fazemos uma substituição , então ou . Assim, a integral fica:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de 0 a 3:
16 ( e^9 - e^0 ) = 16 ( e^9 - 1 )
Resposta
A integral vale . Como essa opção não está listada, a resposta correta é a letra (e): Nenhuma das alternativas.