O cálculo da integral integral0^1 integral3 y^3 e^x^2 d x d y vale:
(a) 12(e^9-1);
(b) 1(e-1);
© $ \frac{1}{2}\left(e^{2}-1\right)$
(d) 12(e^2-1);
(e) Nenhuma das alternativas.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo de uma integral dupla: . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e como lidar com a função .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1 e, para cada , varia de a 3. Imagina um gráfico onde o eixo vai de 0 a 1 e, para cada valor de , o começa em e vai até 3.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos descobrir os novos limites de integração. Observando a região, quando varia de 0 a 3, o correspondente varia de 0 a .

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral com a ordem trocada:
integral0^3 integral0^x/3 e^x^2 , dy , dx
Note que não depende de , então podemos simplificar a integral interna.

Passo 5

Vamos integrar em relação a integral0^x/3 e^x^2 , dy = e^x^2 cdot y g|0^x/3 = e^x^2 cdot x3 primeiro:
13 integral0^3 x e^x^2 , dx
Agora, a integral fica:

Passo 6

Para resolver 13 cdot 12 integral e^u , du = 16 e^u + C = 16 e^x^2 + C , fazemos uma substituição , então ou . Assim, a integral fica:

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de 0 a 3:
16 ( e^9 - e^0 ) = 16 ( e^9 - 1 )

Resposta

A integral vale . Como essa opção não está listada, a resposta correta é a letra (e): Nenhuma das alternativas.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais que seguem (escolha apenas 6)
a) integral cos ^5(x) sen(x) d x
Em um sistema de coordenadas retangulares convencional, construir o seguinte:
(a) Um produto interno que não seja positivo definido.
Encontre o domínio das seguintes funções:
f) f(x)=l x^3-8x-2, se x >= 2 raiz-x^2-2 x+3, se x<2
Em um sistema de coordenadas polares, formular usando apenas a definição estrutural do sistema polar, o seguinte:
(a) A distância entre dois pontos.