Em um sistema de coordenadas polares, formular usando apenas a definição estrutural do sistema polar, o seguinte:
(a) A distância entre dois pontos.
(a) A distância entre dois pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para formular a distância entre dois pontos em coordenadas polares. A gente vai usar só a definição básica do sistema polar. Para isso, vamos precisar entender como as coordenadas polares funcionam e como calcular a distância entre dois pontos quaisquer nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, cada ponto é definido por dois valores:
e
. O
é a distância do ponto até a origem (ponto central) e
é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo das abscissas (geralmente o eixo x).
Passo 3
Agora, vamos considerar dois pontos no sistema polar: o ponto A com coordenadas
e o ponto B com coordenadas
. Nossa missão é encontrar a distância entre A e B usando apenas a definição estrutural das coordenadas polares.
Passo 4
Para encontrar a distância entre A e B, podemos usar o conceito de triangulação. Imagine que você tem dois vetores partindo da origem até os pontos A e B. A distância entre A e B forma o terceiro lado de um triângulo, onde conhecemos os dois lados
e
, e o ângulo entre eles é
.
Passo 5
Vamos aplicar a Lei dos Cossenos nesse triângulo. A Lei dos Cossenos diz que, em qualquer triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos duas vezes o produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles. Aplicando isso aqui:
Passo 6
Agora, para achar a distância
, basta tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação:
Resposta
A distância entre os dois pontos em coordenadas polares
e
é dada por
Exercícios relacionados
Encontre o domínio das seguintes funções:
O cálculo da integral
vale:
(a) ;
(b) ;
© $ \frac{1}{2}\left(e^{2}-1\right)$
(d) ;
(e) Nenhuma das alternativas.
(a)
(b)
© $ \frac{1}{2}\left(e^{2}-1\right)$
(d)
(e) Nenhuma das alternativas.
Calcule
s)
s)
Calcule as integrais onde
d)
d)