Encontre o domínio das seguintes funções:
f) f(x)=l x^3-8x-2, se x >= 2 raiz-x^2-2 x+3, se x<2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos que encontrar o domínio da função f(x), que é uma função por partes. Isso significa que a função é definida de maneiras diferentes dependendo dos valores de x. Para isso, vamos precisar entender duas coisas principais: quando uma fração está bem definida e quando uma raiz quadrada não dá problema.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte da função quando x >= 2:
f(x) = x^3-8x-2
Aqui, a preocupação é com o denominador. A fração só está definida se o denominador for diferente de zero. Então, precisamos garantir que x - 2 neq 0, ou seja, x neq 2. Porém, a condição dada é x >= 2. Isso significa que, na verdade, x não pode ser exatamente 2, então a parte válida para essa parte da função é x > 2.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte da função quando x < 2:
f(x) = raiz-x^2-2x+3
Para a raiz quadrada estar bem definida, o que está dentro dela, chamado de radicando, precisa ser maior ou igual a zero. Então, vamos resolver a desigualdade:
-x^2 - 2x + 3 >= 0
Primeiro, vamos multiplicar todos os termos por -1 (lembrando que isso inverte o sinal da desigualdade):
x^2 + 2x - 3 <= 0
Agora, fatoramos a expressão quadrática:
(x + 3)(x - 1) <= 0
Para resolver essa desigualdade, encontramos os valores de x que fazem o produto ser menor ou igual a zero. Isso ocorre entre as raízes x = -3 e x = 1. Então, a solução dessa parte é -3 <= x <= 1.

Resposta

Juntando ambas as partes, o domínio da função f(x) é:
x in [-3, ,1] cup (2, ,+infty)

Exercícios relacionados

O cálculo da integral integral0^1 integral3 y^3 e^x^2 d x d y vale:
(a) 12(e^9-1);
(b) 1(e-1);
© $ \frac{1}{2}\left(e^{2}-1\right)$
(d) 12(e^2-1);
(e) Nenhuma das alternativas.
Calcule as integrais que seguem (escolha apenas 6)
a) integral cos ^5(x) sen(x) d x
Em um sistema de coordenadas polares, formular usando apenas a definição estrutural do sistema polar, o seguinte:
(a) A distância entre dois pontos.
Calcule
s) integral sec ^4(x) d x