A taxa de crescimento de uma cultura de bactérias é proporcional ao número de bactérias no momento; ou seja, sendo y o número de bactérias, dy/dx=ky. A função que melhor modela esse fenômeno é a exponencial, y=y0 ekt, na qual y0 é o número inicial, e t é dado em minutos. Se a cultura iniciar com 1.000 bactérias e esse número dobrar em 10 minutos, quanto tempo, aproximadamente, levará para que haja 1.000.000 de bactérias?​​​​​​
a)
10s.
b)
10min.
c)
100min.
d)
150min.
e)
200min.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o crescimento de uma cultura de bactérias, que cresce de forma proporcional ao número atual de bactérias. Isso envolve matemática de funções exponenciais. Vamos precisar usar a fórmula da função exponencial para calcular quanto tempo vai levar para as bactérias chegarem a 1.000.000.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que descreve o crescimento das bactérias:
y(t) = y0 cdot e^k t
Onde:
- $ y(t) $ é o número de bactérias no tempo $ t $,
- $ y_0 $ é o número inicial de bactérias,
- $ k $ é a constante de crescimento,
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais.

Passo 3

Sabemos que a cultura começa com 1.000 bactérias e dobra em 10 minutos. Vamos usar essa informação para encontrar o valor de $ k $.
Quando $ t = 10 $ minutos, $ y(t) = 2 \cdot y_0 = 2 \cdot 1000 = 2000 $.
Substituindo na fórmula:
k

Passo 4

Vamos resolver para $ k $:
k
20001000 = e^10k
Agora, para se livrar do $ e $, tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
2 = e^10k
e

Passo 5

Agora que temos $ k $, vamos encontrar o tempo $ t $ necessário para que o número de bactérias chegue a 1.000.000.
Usando a fórmula inicial:
k
Dividindo ambos os lados por 1000:
t
Tirando o logaritmo natural:
1000000 = 1000 cdot e^k t
Substituindo $ k $ pelo valor encontrado:
1000 = e^k t
Resolvendo para $ t $:
ln(1000) = k t
Calculando os valores:
k
ln(1000) = ln(2)10 cdot t
t
t = 10 cdot ln(1000)ln(2)

Resposta

c) 100min.

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