A taxa de crescimento de uma cultura de bactérias é proporcional ao número de bactérias no momento; ou seja, sendo y o número de bactérias, dy/dx=ky. A função que melhor modela esse fenômeno é a exponencial, y=y0 ekt, na qual y0 é o número inicial, e t é dado em minutos. Se a cultura iniciar com 1.000 bactérias e esse número dobrar em 10 minutos, quanto tempo, aproximadamente, levará para que haja 1.000.000 de bactérias?
a)
10s.
b)
10min.
c)
100min.
d)
150min.
e)
200min.
a)
10s.
b)
10min.
c)
100min.
d)
150min.
e)
200min.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o crescimento de uma cultura de bactérias, que cresce de forma proporcional ao número atual de bactérias. Isso envolve matemática de funções exponenciais. Vamos precisar usar a fórmula da função exponencial para calcular quanto tempo vai levar para as bactérias chegarem a 1.000.000.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula que descreve o crescimento das bactérias:
Onde:
- $ y(t) $ é o número de bactérias no tempo $ t $,
- $ y_0 $ é o número inicial de bactérias,
- $ k $ é a constante de crescimento,
- $ e $ é a base dos logaritmos naturais.
Passo 3
Sabemos que a cultura começa com 1.000 bactérias e dobra em 10 minutos. Vamos usar essa informação para encontrar o valor de $ k $.
Quando $ t = 10 $ minutos, $ y(t) = 2 \cdot y_0 = 2 \cdot 1000 = 2000 $.
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos resolver para $ k $:
Agora, para se livrar do $ e $, tiramos o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 5
Agora que temos $ k $, vamos encontrar o tempo $ t $ necessário para que o número de bactérias chegue a 1.000.000.
Usando a fórmula inicial:
Dividindo ambos os lados por 1000:
Tirando o logaritmo natural:
Substituindo $ k $ pelo valor encontrado:
Resolvendo para $ t $:
Calculando os valores:
Resposta
c) 100min.