Um sistema em vibração com amortecimento viscoso apresenta os seguintes dados: w=10 lb, k=30 lb / pol e c=0,12 lb / pol por s . Determinar o decremento logarítmico e a razão entre duas amplítudes sucessivas quaisquer.
Resp. zeta=0,0681 de

Passo 1

Vamos lá! Temos um sistema vibratório com amortecimento viscoso onde:
  • Força ( ): 10 lb
  • Rigidez ( ): 30 lb/pol
  • Coeficiente de amortecimento ( ): 0,12 lb/(pol·s)
Nosso objetivo é encontrar o decremento logarítmico ( ) e a razão entre duas amplitudes sucessivas ( ). Para isso, vamos usar conceitos de vibrações amortecidas e algumas fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar a massa ( w = m cdot g ) do sistema. Sabemos que a força ( m = wg = 10 , lb386 , in/s² approx 0,0259 , slug ) está relacionada à massa pela fórmula:
Onde é a aceleração da gravidade. No sistema de unidades que temos, in/s² (já que usamos polegadas). Então:
²

Passo 3

Agora, vamos calcular a frequência natural não amortecida ( omegan = raizkm ) do sistema usando a fórmula:
omegan = raiz30 , lb/pol0,0259 , slug approx raiz1158 approx 34 , rad/s
Substituindo os valores:

Passo 4

Com a frequência natural, podemos calcular o fator de amortecimento ( zeta = c2 raizk m ), que é dado por:
zeta = 0,12 , lb/(pol·s)2 times raiz30 , lb/pol times 0,0259 , slug approx 0,122 times 0,881 approx 0,121,762 approx 0,0681
Vamos substituir os valores:

Passo 5

Agora, vamos determinar o decremento logarítmico ( de). A fórmula geral para de em sistemas amortecidos é:
de
Como é pequeno, podemos aproximar:
No entanto, para maior precisão, usando a fórmula completa:

Passo 6

Por fim, vamos calcular a razão entre duas amplitudes sucessivas ( x1x2 = e^de). A relação entre amplitudes em vibrações amortecidas é dada por:
x1x2 = e^0,429 approx 1,54
Substituindo :

Resposta

zeta = 0,0681 de

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