(2,5) O calor especifico molar de certa substância varia com a temperatura de acordo com a seguinte equação empírica: C=29,5+0,0082 T. Qual é o calor necessário para fazer a temperatura de 2,00 mols dessa substância variar de 27^circ C até 227^circ C ??

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de calor e calor específico molar, que varia com a temperatura. Precisamos descobrir o calor necessário para aquecer 2,00 mols de uma substância de 27°C até 227°C, sabendo que o calor específico molar muda conforme a temperatura pela equação $ C = 29,5 + 0,0082 \cdot T $. Vamos usar conceitos de termologia e integração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o calor específico molar. Ele representa a quantidade de calor necessária para aumentar a temperatura de um mol de uma substância em 1°C. No nosso caso, como o calor específico depende da temperatura, não podemos simplesmente multiplicar por uma diferença de temperatura. Precisamos integrar a função $ C(T) $ ao longo do intervalo de temperatura.

Passo 3

A fórmula para calcular o calor $ Q $ quando o calor específico varia com a temperatura é:
Q
Onde:
  • $ n $ é o número de mols (2,00 mols),
  • $ T_i $ é a temperatura inicial (27°C),
  • $ T_f $ é a temperatura final (227°C),
  • $ C(T) $ é o calor específico molar em função da temperatura.

Passo 4

Vamos substituir a função $ C(T) $ na integral:
C(T)
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 5

Integrando $ 29,5 $ em relação a $ T $:
29,5
E integrando $ 0,0082 \cdot T $:
T

Passo 6

Então, a integral fica:
Q = 2,00 cdot [ 29,5 cdot T + 0,0041 cdot T^2 ]27^227
Agora, vamos calcular o valor dessa expressão nos limites de integração.

Passo 7

Calculando para $ T = 227 $:
T = 227
29,5 cdot 227 + 0,0041 cdot (227)^2 = 29,5 cdot 227 + 0,0041 cdot 51529
Calculando para $ T = 27 $:
= 6696,5 + 211,43 = 6907,93
T = 27

Passo 8

Subtraindo os valores:
6907,93 - 799,4889 = 6108,4411
Agora, multiplicamos por $ 2,00 $ mols:
2,00

Resposta

O calor necessário é aproximadamente 12.217 J.

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