O calor específico de uma substância varia com a temperatura de acordo com a equação c=0.2+0.14 T+0.023 T^2, sendo T em ^circ C e c em cal / g K. Calcule o calor necessário para aumentar a temperatura de 20 g desta substância de 5 até 15^circ C.

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos calcular o calor necessário para aumentar a temperatura de 20 g de uma substância de 5°C até 15°C. Estamos trabalhando com calorimetria, especificamente com calor sensível onde o calor específico varia com a temperatura segundo a equação . Para resolver isso, vamos precisar integrar a função do calor específico em relação à temperatura.

Passo 2

Primeiro, lembrando que o calor Q = m integralT1^T2 c(T) , dT necessário para aquecer uma substância é dado pela integral do produto da massa , do calor específico e da variação de temperatura :
Onde:

Passo 3

Vamos substituir Q = 20 integral5^15 (0.2 + 0.14T + 0.023T^2) , dT na integral:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral termo a termo:
integral (0.2) , dT = 0.2T
integral (0.14T) , dT = 0.14 cdot T^22 = 0.07T^2
integral (0.023T^2) , dT = 0.023 cdot T^33 approx 0.007667T^3

Passo 5

Juntando os resultados da integral:
Q = 20 [ 0.2T + 0.07T^2 + 0.007667T^3 ]5^15

Passo 6

Agora, vamos calcular os valores nos limites superior e inferior:
Para 0.2 cdot 15 = 3 :
0.07 cdot 15^2 = 0.07 cdot 225 = 15.75
0.007667 cdot 15^3 = 0.007667 cdot 3375 approx 25.84
3 + 15.75 + 25.84 = 44.59
Total para 0.2 cdot 5 = 1 :
0.07 cdot 5^2 = 0.07 cdot 25 = 1.75
Para 0.007667 cdot 5^3 = 0.007667 cdot 125 approx 0.96 :
1 + 1.75 + 0.96 = 3.71
Total para :

Passo 7

Subtraindo os resultados dos limites:
44.59 - 3.71 = 40.88

Passo 8

Finalmente, multiplicamos pelo valor da massa:
Q = 20 cdot 40.88 = 817.6 , cal

Resposta

O calor necessário para aumentar a temperatura de 20 g dessa substância de 5°C até 15°C é de aproximadamente 817,6 cal.

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