Em vez de definir a temperatura t como função linear de uma certa propriedade X, podemos definí-la como uma função logarítmica da forma t^prime=A log X+B, onde A e B são constantes. Considere t^prime=0^circ no ponto do gelo e t^prime=100^circ no ponto de vapor. Calcule A e B. Considere X o comprimento da coluna líquida de um termômetro de mercúrio e tome como referência Xi=6 cm e ti^prime=0^circ, Xf=36 cm e tf^prime=100^circ. a) Calcule a temperatura t^prime para t=50^circ C. b) Ache as distâncias (em cm ) entre os pontos t^prime=0^circ e t^prime=10^circ e entre t^prime=90^circ e t^prime=100^circ.

Passo 1

Então, temos um exercício que envolve definir a temperatura como uma função logarítmica de uma propriedade . A equação dada é , onde e são constantes que precisamos encontrar. Sabemos que quando cm, e quando cm, . Vamos usar esses dados para calcular e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que temos duas equações com duas incógnitas. Podemos substituir os valores conhecidos na equação para formar um sistema de equações e resolver para e .

Passo 3

Substituindo 0 = A log 6 + B cm e na equação:
Isso será a nossa primeira equação.

Passo 4

Agora, substituímos 100 = A log 36 + B cm e :
Essa é a nossa segunda equação.

Passo 5

Temos o seguinte sistema de equações:
0 = A log 6 + B 100 = A log 36 + B
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar 100 - 0 = A (log 36 - log 6) :
100 = A log ( 366 )
Como 100 = A log 6 , temos:

Passo 7

Agora, isolamos A = 100log 6 :
log 6 approx 0,7782
Calculando A approx 1000,7782 approx 128,6 (usando base 10):
Então:

Passo 8

Agora, usamos o valor de 0 = 128,6 cdot log 6 + B para encontrar B = -128,6 cdot log 6 usando a primeira equação:
B approx -128,6 cdot 0,7782 approx -100

Passo 9

Portanto, os valores das constantes são:
A approx 128,6
B approx -100

Resposta

As constantes são e .

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