O calor específico de uma substância varia com a temperatura de acordo com a equação c=0,20+0,14 T+0,023 T2, com T em ^circ C e c em cal / g cdot K. Determine a energia necessária para aumentar a temperatura de 2,0 g da substância de 5,0^circ C para 15^circ C.

Passo 1

Vamos lá! Temos um problema de calor específico que varia com a temperatura. Precisamos calcular a energia necessária para aquecer 2,0 g dessa substância de 5,0°C para 15°C. Para isso, vamos usar a equação que relaciona o calor específico com a temperatura e integrar para encontrar a energia total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula do calor específico que varia com a temperatura:
c(T) = 0,20 + 0,14 T + 0,023 T^2
Aqui, é o calor específico em cal/g·K e é a temperatura em °C. Como o calor específico não é constante, precisamos integrar em relação à temperatura para encontrar a energia total necessária.

Passo 3

A energia necessária ( Q = m integralTinicial^Tfinal c(T) , dT ) para aquecer a substância é dada pela integral do calor específico vezes a massa ( Q = 2,0 , g integral5^15 (0,20 + 0,14 T + 0,023 T^2) , dT ) e a variação de temperatura ( ):
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos calcular a integral passo a passo:
integral (0,20 + 0,14 T + 0,023 T^2) , dT = 0,20 T + 0,07 T^2 + 0,0233 T^3 + C
Agora, avaliaremos essa expressão de T = 5°C a T = 15°C:
Q = 2,0 [ (0,20 times 15 + 0,07 times 15^2 + 0,0233 times 15^3) - (0,20 times 5 + 0,07 times 5^2 + 0,0233 times 5^3) ]
Calculando cada termo:
Para T = 15:
0,20 times 15 = 3,0 0,07 times 225 = 15,75 0,0233 times 3375 = 25,875
Total para T = 15:
3,0 + 15,75 + 25,875 = 44,625
Para T = 5:
0,20 times 5 = 1,0 0,07 times 25 = 1,75 0,0233 times 125 = 0,9583
Total para T = 5:
1,0 + 1,75 + 0,9583 = 3,7083
Agora, subtraindo:
44,625 - 3,7083 = 40,9167
Multiplicando pela massa:
Q = 2,0 times 40,9167 = 81,8334 , cal

Resposta

A energia necessária para aquecer os 2,0 g da substância de 5,0°C para 15°C é aproximadamente 81,83 cal.

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