Uma partícula é submetida à ação de uma força cujos componentes são Fx=-z e^-x, Fy=ln z e Fz=e^-x+y / z.
a) Mostre nabla times F=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que o rotacional da força é igual a zero. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, mais especificamente sobre o conceito de rotacional (ou ). Para resolver isso, vamos precisar calcular o rotacional da força usando as componentes dadas e verificar se todas as derivadas parciais se anulam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o rotacional de um vetor nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k . A fórmula do rotacional é:
Vamos calcular cada uma dessas componentes usando as funções dadas.

Passo 3

Vamos calcular a componente partial Fzpartial y = partialpartial y ( e^-x + yz ) = 1z :
partial Fypartial z = partialpartial z (ln z) = 1z
partial Fzpartial y - partial Fypartial z = 1z - 1z = 0
Portanto:

Passo 4

Agora, a componente partial Fxpartial z = partialpartial z (-z e^-x) = -e^-x :
partial Fzpartial x = partialpartial x ( e^-x + yz ) = -e^-x
partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = -e^-x - (-e^-x) = 0
Assim:

Passo 5

Por último, a componente partial Fypartial x = partialpartial x (ln z) = 0 :
partial Fxpartial y = partialpartial y (-z e^-x) = 0
partial Fypartial x - partial Fxpartial y = 0 - 0 = 0
Então:

Resposta

Como todas as componentes do rotacional são zero, concluímos que .

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