O momento angular de uma partícula de massa
se movendo num plano é dado por
(em relação a um ponto
). Usando a equação de movimento (segunda lei) em coordenadas polares planas, mostre que
, em que
é o torque da força
em relação a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre momento angular de uma partícula se movendo num plano. O enunciado nos pede para mostrar que a derivada do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque da força aplicada. Para resolver isso, vamos usar a segunda lei de Newton em coordenadas polares. Precisaremos entender como calcular o momento angular e aplicar as equações de movimento nessas coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é definido o momento angular
de uma partícula. Ele é dado por:
onde:
-
é a massa da partícula, -
é a distância da partícula ao ponto , -
é a velocidade tangencial.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a derivada de
em relação ao tempo, ou seja,
. Vamos derivar:
Como a massa
é constante, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, precisamos lembrar das equações de movimento em coordenadas polares. Elas dizem que:
Aqui,
e
são as componentes radial e tangencial da força.
Passo 5
Vamos focar na segunda equação de movimento para achar
. Sabendo que
, temos:
Substituindo na derivada de
:
Note que os dois primeiros termos se cancelam:
Passo 6
Pela segunda equação de movimento, temos:
Mas já vimos que
. Se multiplicarmos ambos os lados da equação acima por
, temos:
Ou seja:
Resposta
Assim, mostramos que a derivada do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque
: