O momento angular de uma partícula de massa m se movendo num plano é dado por L=m r vtheta (em relação a um ponto O ). Usando a equação de movimento (segunda lei) em coordenadas polares planas, mostre que d L / d t=r Ftheta=N, em que N é o torque da força F em relação a O.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre momento angular de uma partícula se movendo num plano. O enunciado nos pede para mostrar que a derivada do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque da força aplicada. Para resolver isso, vamos usar a segunda lei de Newton em coordenadas polares. Precisaremos entender como calcular o momento angular e aplicar as equações de movimento nessas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é definido o momento angular L = m , r , vtheta de uma partícula. Ele é dado por:
onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a distância da partícula ao ponto ,
  • é a velocidade tangencial.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a derivada de dLdt = ddt (m , r , vtheta) em relação ao tempo, ou seja, dLdt = m ( drdt , vtheta + r , dvthetadt ) . Vamos derivar:
Como a massa é constante, podemos simplificar para:

Passo 4

Agora, precisamos lembrar das equações de movimento em coordenadas polares. Elas dizem que:
d^2 rdt^2 - r , ( dthetadt )^2 = Fr / m
r , d^2 thetadt^2 + 2 , drdt , dthetadt = Ftheta / m
Aqui, e são as componentes radial e tangencial da força.

Passo 5

Vamos focar na segunda equação de movimento para achar dvthetadt = ddt ( r , dthetadt ) = drdt , dthetadt + r , d^2 thetadt^2 . Sabendo que dLdt = m ( drdt , vtheta + r ( drdt , dthetadt + r , d^2 thetadt^2 ) ) , temos:
dLdt = m ( drdt , vtheta + r , drdt , dthetadt + r^2 , d^2 thetadt^2 )
Substituindo na derivada de dLdt = m , r^2 , d^2 thetadt^2 :
Note que os dois primeiros termos se cancelam:

Passo 6

Pela segunda equação de movimento, temos:
r , d^2 thetadt^2 + 2 , drdt , dthetadt = Fthetam
Mas já vimos que m , r^2 , d^2 thetadt^2 = m , r , Ftheta . Se multiplicarmos ambos os lados da equação acima por dLdt = r , Ftheta , temos:
Ou seja:

Resposta

Assim, mostramos que a derivada do momento angular em relação ao tempo é igual ao torque dLdt = r , Ftheta = N :

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