Camadas de placas de carne
e
de 23 cm de espessura, inicialmente a uma temperatura uniforme de
, devem ser congeladas por ar refrigerado a
fluindo a uma velocidade de
. O coeficiente médio de transferência de calor entre a carne e o ar é
. K. Partindo do princípio de que o tamanho das placas de carne é grande em relação à sua espessura, determine o tempo necessário para que a temperatura no centro das placas diminua para
. Além disso, determine a temperatura da superfície da placa de carne nesse momento.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar quais conceitos vamos usar para resolver.
Enunciado Resumido:
Temos placas de carne com 23 cm de espessura, inicialmente a 7°C. Essas placas vão ser refrigeradas por ar a -30°C, que flui a uma velocidade de 1,4 m/s. Queremos saber quanto tempo leva para a temperatura no centro das placas chegar a -18°C e qual será a temperatura na superfície nesse momento.
Temos placas de carne com 23 cm de espessura, inicialmente a 7°C. Essas placas vão ser refrigeradas por ar a -30°C, que flui a uma velocidade de 1,4 m/s. Queremos saber quanto tempo leva para a temperatura no centro das placas chegar a -18°C e qual será a temperatura na superfície nesse momento.
Conteúdo da Matéria:
Vamos trabalhar com Transferência de Calor, especificamente com Condução Térmica em sólidos e Convecção na interface sólido-líquido.
Vamos trabalhar com Transferência de Calor, especificamente com Condução Térmica em sólidos e Convecção na interface sólido-líquido.
O que vamos precisar:
- Propriedades térmicas da carne: condutividade térmica (k) e difusividade térmica (α).
- Coeficiente de transferência de calor por convecção (h).
- Equações de condução térmica para placas finitas.
- Conceitos de número de Fourier e número de Biot.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as propriedades da carne e os dados que temos:
- Condutividade térmica (k): 0,47 W/m·K
- Difusividade térmica (α): 0,13 × 10⁻⁶ m²/s
- Espessura das placas (L): 23 cm = 0,23 m
- Temperatura inicial (Ti): 7°C
- Temperatura do ar refrigerado (T∞): -30°C
- Velocidade do ar (v): 1,4 m/s
- Coeficiente de transferência de calor por convecção (h): 20 W/m²·K
- Temperatura alvo no centro (Tc): -18°C
Passo 3
Vamos calcular o Número de Fourier (Fo), que é uma medida de quanto tempo a condução de calor leva para afetar o material. A fórmula é:
Onde:
- α é a difusividade térmica
- t é o tempo
- L é a espessura
Queremos encontrar o tempo t, então precisamos reorganizar a equação:
Mas primeiro, precisamos encontrar o valor de Fo correspondente à redução da temperatura no centro para -18°C.
Passo 4
Para encontrar o valor de Fo, usamos a solução da equação de condução de calor para uma placa fina. A temperatura no centro da placa pode ser relacionada ao Número de Fourier pela seguinte relação aproximada:
Essa equação é derivada da solução de séries da equação de condução de calor para uma placa infinita com condições de contorno de convecção. Para simplificar, consideramos apenas o primeiro termo da série (n=0), o que é uma boa aproximação para muitos casos:
Passo 5
Vamos substituir os valores conhecidos na equação para encontrar Fo.
Primeiro, calculemos a razão de temperaturas:
Agora, substituímos na equação aproximada:
Reorganizando para isolar o termo exponencial:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 6
Agora que temos o valor de Fo, podemos encontrar o tempo t usando a fórmula do Número de Fourier:
Convertendo para horas:
Então, o tempo necessário é aproximadamente 29 horas.
Passo 7
Agora, vamos determinar a temperatura da superfície da placa no momento em que o centro atinge -18°C.
Para isso, usamos a condição de convecção na superfície. A temperatura na superfície (
) pode ser relacionada à temperatura do ar e à taxa de transferência de calor.
A relação de Newton para resfriamento é:
Onde:
- q é a taxa de transferência de calor
- h é o coeficiente de transferência de calor por convecção
- T_s é a temperatura da superfície
- T∞ é a temperatura do ar
Sabemos que a placa está equilibrando a condução no interior com a convecção na superfície. No momento em que o centro atinge -18°C, podemos assumir que a temperatura da superfície ainda está se aproximando de T∞.
Considerando que no tempo calculado, a superfície ainda não atingiu completamente T∞, mas está próxima, podemos estimar que
.
No entanto, essa é uma aproximação simplificada. Para uma estimativa mais precisa, precisaríamos utilizar a solução completa da equação de condução com convecção, o que envolve séries infinitas. Para fins práticos e de estudo, consideramos que a superfície já está próxima de T∞ quando o centro atinge a temperatura alvo.
Resposta
O tempo necessário para que a temperatura no centro das placas de carne diminua para -18°C é de aproximadamente 29 horas. Nesse momento, a temperatura da superfície da placa está próxima de -18°C.