Camadas de placas de carne (k=0,47 W / m K e alpha=0,13 times 10^-6 m^2 / s) de 23 cm de espessura, inicialmente a uma temperatura uniforme de 7^circ C, devem ser congeladas por ar refrigerado a -30^circ C fluindo a uma velocidade de 1,4 m / s. O coeficiente médio de transferência de calor entre a carne e o ar é 20 W / m^2. K. Partindo do princípio de que o tamanho das placas de carne é grande em relação à sua espessura, determine o tempo necessário para que a temperatura no centro das placas diminua para -18^circ C. Além disso, determine a temperatura da superfície da placa de carne nesse momento.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar quais conceitos vamos usar para resolver.
Enunciado Resumido:
Temos placas de carne com 23 cm de espessura, inicialmente a 7°C. Essas placas vão ser refrigeradas por ar a -30°C, que flui a uma velocidade de 1,4 m/s. Queremos saber quanto tempo leva para a temperatura no centro das placas chegar a -18°C e qual será a temperatura na superfície nesse momento.
Conteúdo da Matéria:
Vamos trabalhar com Transferência de Calor, especificamente com Condução Térmica em sólidos e Convecção na interface sólido-líquido.
O que vamos precisar:
  • Propriedades térmicas da carne: condutividade térmica (k) e difusividade térmica (α).
  • Coeficiente de transferência de calor por convecção (h).
  • Equações de condução térmica para placas finitas.
  • Conceitos de número de Fourier e número de Biot.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as propriedades da carne e os dados que temos:
  • Condutividade térmica (k): 0,47 W/m·K
  • Difusividade térmica (α): 0,13 × 10⁻⁶ m²/s
  • Espessura das placas (L): 23 cm = 0,23 m
  • Temperatura inicial (Ti): 7°C
  • Temperatura do ar refrigerado (T∞): -30°C
  • Velocidade do ar (v): 1,4 m/s
  • Coeficiente de transferência de calor por convecção (h): 20 W/m²·K
  • Temperatura alvo no centro (Tc): -18°C

Passo 3

Vamos calcular o Número de Fourier (Fo), que é uma medida de quanto tempo a condução de calor leva para afetar o material. A fórmula é:
Fo = alpha cdot tL^2
Onde:
  • α é a difusividade térmica
  • t é o tempo
  • L é a espessura
Queremos encontrar o tempo t, então precisamos reorganizar a equação:
t = Fo cdot L^2alpha
Mas primeiro, precisamos encontrar o valor de Fo correspondente à redução da temperatura no centro para -18°C.

Passo 4

Para encontrar o valor de Fo, usamos a solução da equação de condução de calor para uma placa fina. A temperatura no centro da placa pode ser relacionada ao Número de Fourier pela seguinte relação aproximada:
Tc - TinftyTi - Tinfty = 1 - sumn=0^infty 4(2n+1)pi exp(-((2n+1)pi2)^2 Fo)
Essa equação é derivada da solução de séries da equação de condução de calor para uma placa infinita com condições de contorno de convecção. Para simplificar, consideramos apenas o primeiro termo da série (n=0), o que é uma boa aproximação para muitos casos:
Tc - TinftyTi - Tinfty approx 1 - 4pi exp(-(pi2)^2 Fo)

Passo 5

Vamos substituir os valores conhecidos na equação para encontrar Fo.
Primeiro, calculemos a razão de temperaturas:
Tc - TinftyTi - Tinfty = -18 - (-30)7 - (-30) = 1237 approx 0,324
Agora, substituímos na equação aproximada:
0,324 approx 1 - 4pi exp(-(pi2)^2 Fo)
Reorganizando para isolar o termo exponencial:
4pi exp(-(pi2)^2 Fo) approx 1 - 0,324 = 0,676
exp(-(pi2)^2 Fo) approx 0,676 cdot pi4 approx 0,531
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
-(pi2)^2 Fo = ln(0,531)
Fo = -ln(0,531)(pi2)^2 approx 0,6342,467 approx 0,257

Passo 6

Agora que temos o valor de Fo, podemos encontrar o tempo t usando a fórmula do Número de Fourier:
t = Fo cdot L^2alpha = 0,257 cdot (0,23)^20,13 times 10^-6 approx 0,257 cdot 0,05290,13 times 10^-6 approx 0,01360,13 times 10^-6 approx 104615 segundos
Convertendo para horas:
104615 s div 3600 approx 29,06 horas
Então, o tempo necessário é aproximadamente 29 horas.

Passo 7

Agora, vamos determinar a temperatura da superfície da placa no momento em que o centro atinge -18°C.
Para isso, usamos a condição de convecção na superfície. A temperatura na superfície ( q = h (Ts - Tinfty) ) pode ser relacionada à temperatura do ar e à taxa de transferência de calor.
A relação de Newton para resfriamento é:
Onde:
  • q é a taxa de transferência de calor
  • h é o coeficiente de transferência de calor por convecção
  • T_s é a temperatura da superfície
  • T∞ é a temperatura do ar
Sabemos que a placa está equilibrando a condução no interior com a convecção na superfície. No momento em que o centro atinge -18°C, podemos assumir que a temperatura da superfície ainda está se aproximando de T∞.
Considerando que no tempo calculado, a superfície ainda não atingiu completamente T∞, mas está próxima, podemos estimar que .
No entanto, essa é uma aproximação simplificada. Para uma estimativa mais precisa, precisaríamos utilizar a solução completa da equação de condução com convecção, o que envolve séries infinitas. Para fins práticos e de estudo, consideramos que a superfície já está próxima de T∞ quando o centro atinge a temperatura alvo.

Resposta

O tempo necessário para que a temperatura no centro das placas de carne diminua para -18°C é de aproximadamente 29 horas. Nesse momento, a temperatura da superfície da placa está próxima de -18°C.

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