Esboce a variação das espessuras das camadas limite de velocidade e térmica com a distância da aresta frontal de u, ma placa plana, para o escoamento laminar de ar, água, óleo de máquina e mercúrio. Para cada caso, considere a temperatura média do fluido de 300 K .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente desenhar como as espessuras das camadas limite de velocidade e térmica variam conforme a distância da aresta frontal de uma placa plana. Isso tudo para um escoamento laminar de ar, água, óleo de máquina e mercúrio, considerando que a temperatura média do fluido é de 300 K. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são camadas limite de velocidade e térmica, além dos conceitos de escoamento laminar e propriedades dos fluidos como viscosidade e número de Prandtl.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são essas camadas limite:
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Camada Limite de Velocidade (θ): É a região próxima à superfície da placa onde a velocidade do fluido muda de zero (na superfície, por aderência) até atingir a velocidade do fluxo livre.
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Camada Limite Térmica (δ<sub>T</sub>): É a região onde a temperatura do fluido se ajusta de uma possível diferença térmica entre a placa e o fluido.
Essas camadas crescem conforme a distância x da aresta frontal aumenta. Para um escoamento laminar sobre uma placa plana, as espessuras dessas camadas podem ser descritas pelas seguintes fórmulas aproximadas:
Onde:
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é a viscosidade cinemática do fluido (m²/s), -
é a velocidade do fluxo livre (m/s), -
é o número de Prandtl, que relaciona a difusão de quantidade de movimento com a difusão de calor.
Passo 3
Agora, cada fluido tem propriedades diferentes, especialmente o número de Prandtl. Vamos ver como isso afeta as camadas limite:
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Ar: Possui um número de Prandtl em torno de 0,71. Isso significa que a camada térmica será um pouco menor que a camada de velocidade.
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Água: Tem um Prandtl alto, cerca de 7. Isso indica que a camada térmica será maior que a camada de velocidade.
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Óleo de máquina: Geralmente tem um Prandtl ainda maior, podendo variar entre 50 a 100, dependendo do tipo. Assim, a camada térmica será bem maior.
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Mercúrio: Possui um número de Prandtl baixo, por volta de 0,025. Nesse caso, a camada térmica será muito menor que a de velocidade.
Passo 4
Com base nessas relações, podemos esboçar como as espessuras das camadas limite de velocidade e térmica variam com a distância x para cada fluido:
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Ar: As camadas crescem com a raiz de x. A camada térmica cresce um pouco menos que a de velocidade devido ao Prandtl menor que 1.
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Água: As camadas de velocidade e térmica crescem com a raiz de x, mas a térmica é maior devido ao alto Prandtl.
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Óleo de máquina: Similar à água, mas com uma camada térmica ainda mais extensa devido ao maior Prandtl.
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Mercúrio: A camada de velocidade cresce com a raiz de x, e a camada térmica é muito mais fina, praticamente negligível em comparação.
Passo 5
Para visualizar isso, imagine gráficos onde no eixo horizontal temos a distância x e no vertical, a espessura das camadas. Para cada fluido:
- As linhas representando θ aumentam de forma semelhante (raiz de x).
- As linhas representando δ<sub>T</sub> variam conforme o Prandtl:
- Ar: δ<sub>T</sub> um pouco menor que θ.
- Água: δ<sub>T</sub> maior que θ.
- Óleo de máquina: δ<sub>T</sub> bem maior que θ.
- Mercúrio: δ<sub>T</sub> muito menor que θ.
Resposta
Assim, ao esboçar a variação das espessuras das camadas limite de velocidade e térmica em função da distância da aresta frontal para escoamentos laminares de ar, água, óleo de máquina e mercúrio a 300 K, observamos que:
- Ar: Camada de velocidade e térmica crescem com a raiz de x, com a térmica ligeiramente menor.
- Água: Camada de velocidade cresce com a raiz de x e a térmica cresce mais rapidamente devido ao alto Prandtl.
- Óleo de máquina: Similar à água, mas com uma camada térmica ainda mais extensa.
- Mercúrio: Camada de velocidade cresce com a raiz de x e a térmica é muito fina devido ao baixo Prandtl.
Esses comportamentos refletem as diferentes propriedades térmicas e viscosas de cada fluido.