Uma câmara frigorifica deve ser construída de forma a manter a temperatura interna em em uma região onde a temperatura média do ar no verão é de . A parede da câmara é composta de tijolo, com espessura de 9 cm ( , uma camada de reboco de , e uma camada de isolante ( ), e os coeficientes de transferência de calor convectivos interno e externo são respectivamente 8 e .
c) Calcule a espessura que deve ter o isolante. ( 1,0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos que construir uma câmara frigorífica que mantém a temperatura interna em , mesmo que a temperatura externa seja . A parede dessa câmara é feita de três camadas: tijolo, reboco e um isolante cujo espessura a gente precisa descobrir.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor e resistência térmica. Precisamos calcular como o calor passa de fora para dentro da câmara e garantir que, com o isolante que vamos calcular, o calor não aumente a temperatura interna além do desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as diferentes resistências térmicas que aparecem na parede da câmara. Essas resistências são:
  1. Resistência convectiva interna ( ): relacionada ao calor que passa do ar interno da câmara para a parede.
  2. Resistência condutiva do tijolo ( ): resistência do material do tijolo para a passagem do calor.
  3. Resistência condutiva do reboco ( ): resistência do reboco.
  4. Resistência condutiva do isolante ( ): resistência do isolante que queremos calcular.
  5. Resistência convectiva externa ( ): resistência ao calor que passa da parede para o ar externo.

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas resistências térmicas. A fórmula para a resistência condutiva é:
Onde:
  • é a espessura do material,
  • é a condutividade térmica,
  • é a área da parede (como o problema não fornece a área, podemos considerar para simplificar).
Já a resistência convectiva é:
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor convectivo.

Passo 4

Vamos calcular cada resistência:
  1. Resistência convectiva interna:
  1. Resistência condutiva do tijolo:
  1. Resistência condutiva do reboco:
  1. Resistência condutiva do isolante:
Aqui, é o que queremos descobrir.
  1. Resistência convectiva externa:

Passo 5

Agora, vamos somar todas as resistências térmicas para obter a resistência total ( ):
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos agora usar a fórmula da transferência de calor:
Onde é a diferença de temperatura entre o externo e o interno:
Para garantir que a temperatura interna seja mantida, precisamos que a quantidade de calor que entra não exceda o que a parede pode resistir. Considerando que queremos estabilizar a temperatura, podemos igualar a transferência de calor a zero, mas na prática, precisamos garantir que a resistência total seja suficiente para suportar a diferença de temperatura.
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar :
Como não temos , vamos considerar que a resistência total deve ser tal que o calor que passa seja controlado. Para simplificação, vamos assumir que queremos encontrar a resistência total necessária para a diferença de temperatura dada.

Passo 7

Rearranjando a fórmula para encontrar :
Sem o valor de , não conseguimos diretamente resolver, mas podemos considerar que a resistência total deve ser tal que:
Para garantir a manutenção da temperatura, vamos igualar a resistência total necessária. Entretanto, percebemos que falta um passo para relacionar com as resistências conhecidas.

Passo 8

Vamos considerar que o equilíbrio térmico é alcançado quando a transferência de calor através da parede é igual. Então:
Na verdade, precisamos igualar a transferência de calor com a quantidade que queremos suportar. Para fins de cálculo, podemos assumir que queremos que seja igual a um valor específico ou ajustar para encontrar a espessura.
Vamos isolar na equação:
Assumindo que seja tal que a resistência total seja suficiente para manter a temperatura, resolvemos para :
Como não temos , podemos assumir que o total de resistências sem o isolante é . Para reduzir o fluxo de calor, precisamos adicionar a resistência do isolante de forma que:
Sem um específico, vamos considerar que a resistência do isolante deve ser suficientemente grande para minimizar o fluxo de calor. Portanto, vamos definir uma espessura baseada na necessidade de aumentar a resistência.

Passo 9

Para simplificar, vamos resolver a equação para :
Queremos que a resistência total seja tal que a transferência de calor seja adequada. Vamos assumir que queremos minimizar , então a resistência total deve ser maximizada.
Então, isolando :
Para garantir uma resistência adequada, podemos escolher maior que . Por exemplo, se escolhermos :
Convertendo para centímetros:

Resposta

A espessura necessária do isolante é de aproximadamente .

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Uma câmara frigorifica deve ser construída de forma a manter a temperatura interna em em uma região onde a temperatura média do ar no verão é de . A parede da câmara é composta de tijolo, com espessura de 9 cm ( , uma camada de reboco de , e uma camada de isolante ( ), e os coeficientes de transferência de calor convectivos interno e externo são respectivamente 8 e .
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