Sabe-se que 5 % das latas de pêssego industrializados pela indústria ABC , em um turno de trabalho, apresentam peso drenado fora dos padrões. Qual a probabilidade de, em uma amostra de 200 latas, 6 % ou mais apresentarem-se fora dos padrões?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala que 5% das latas de pêssego da indústria ABC têm peso fora do padrão. A gente quer saber qual a chance de, num grupo de 200 latas, pelo menos 6% (ou mais) estarem fora do padrão. Vamos usar probabilidade binomial para resolver isso, que é útil quando temos eventos com dois resultados possíveis, como sucesso ou falha.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial. Aqui, temos:
  • n = 200 (número de tentativas, que são as latas)
  • p = 0,05 (probabilidade de uma lata estar fora do padrão)

Passo 3

Queremos achar a probabilidade de pelo menos 6% das 200 latas estarem fora do padrão. Isso significa:
  • 6% de 200 = 12 latas
    Então, buscamos P(X ≥ 12), onde X é o número de latas fora do padrão.

Passo 4

Calcular diretamente a probabilidade binomial para X ≥ 12 pode ser complicado, então vamos usar a aproximação normal. Para isso, primeiro calculamos a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial:
  • μ = n × p = 200 × 0,05 = 10
  • σ = √(n × p × (1 - p)) = √(200 × 0,05 × 0,95) ≈ 3,082

Passo 5

Aplicamos a correção de continuidade porque estamos aproximando uma distribuição discreta (binomial) por uma contínua (normal). Queremos achar:
  • P(X ≥ 12) ≈ P(X ≥ 11,5)
    Agora, calculamos o z-score:
  • z = (11,5 - μ) / σ = (11,5 - 10) / 3,082 ≈ 0,4867

Passo 6

Usando a tabela da distribuição normal, encontramos a probabilidade de Z ≥ 0,4867. Sabemos que:
  • P(Z ≥ 0,4867) = 1 - P(Z ≤ 0,4867)
  • P(Z ≤ 0,4867) ≈ 0,6866
    Então:
  • P(Z ≥ 0,4867) ≈ 1 - 0,6866 = 0,3134

Resposta

A probabilidade de, em uma amostra de 200 latas, 6% ou mais estarem fora dos padrões é aproximadamente 31,34%.

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