Sabe-se que
das latas de pêssego industrializados pela indústria ABC , em um turno de trabalho, apresentam peso drenado fora dos padrões. Qual a probabilidade de, em uma amostra de 200 latas,
ou mais apresentarem-se fora dos padrões?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala que 5% das latas de pêssego da indústria ABC têm peso fora do padrão. A gente quer saber qual a chance de, num grupo de 200 latas, pelo menos 6% (ou mais) estarem fora do padrão. Vamos usar probabilidade binomial para resolver isso, que é útil quando temos eventos com dois resultados possíveis, como sucesso ou falha.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial. Aqui, temos:
- n = 200 (número de tentativas, que são as latas)
- p = 0,05 (probabilidade de uma lata estar fora do padrão)
Passo 3
Queremos achar a probabilidade de pelo menos 6% das 200 latas estarem fora do padrão. Isso significa:
- 6% de 200 = 12 latas
Então, buscamos P(X ≥ 12), onde X é o número de latas fora do padrão.
Passo 4
Calcular diretamente a probabilidade binomial para X ≥ 12 pode ser complicado, então vamos usar a aproximação normal. Para isso, primeiro calculamos a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial:
- μ = n × p = 200 × 0,05 = 10
- σ = √(n × p × (1 - p)) = √(200 × 0,05 × 0,95) ≈ 3,082
Passo 5
Aplicamos a correção de continuidade porque estamos aproximando uma distribuição discreta (binomial) por uma contínua (normal). Queremos achar:
- P(X ≥ 12) ≈ P(X ≥ 11,5)
Agora, calculamos o z-score: - z = (11,5 - μ) / σ = (11,5 - 10) / 3,082 ≈ 0,4867
Passo 6
Usando a tabela da distribuição normal, encontramos a probabilidade de Z ≥ 0,4867. Sabemos que:
- P(Z ≥ 0,4867) = 1 - P(Z ≤ 0,4867)
- P(Z ≤ 0,4867) ≈ 0,6866
Então: - P(Z ≥ 0,4867) ≈ 1 - 0,6866 = 0,3134
Resposta
A probabilidade de, em uma amostra de 200 latas, 6% ou mais estarem fora dos padrões é aproximadamente 31,34%.